giúp với ạ Mình chx học góc nội tiếp

Bài 5: Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a: Chứng minh $\Delta ACP$ và $\Delta BDP$ cân 1. Xét tam giác ACD và BCD: - Vì $\widehat{COD} = 90^\circ$, nên $\widehat{CAD} + \widehat{CBD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Do đó, $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$. 2. Xét tam giác ACP và BDP: - Ta có $\widehat{CAP} = \widehat{CBP}$ (cùng bằng $\widehat{CAD}$). - Ta cũng có $\widehat{ACP} = \widehat{BDP}$ (cùng bằng $\widehat{CBD}$). 3. Chứng minh $\Delta ACP$ và $\Delta BDP$ cân: - Trong $\Delta ACP$, ta có $\widehat{CAP} = \widehat{CBP}$, do đó $\Delta ACP$ là tam giác cân tại C. - Trong $\Delta BDP$, ta có $\widehat{BDP} = \widehat{CBP}$, do đó $\Delta BDP$ là tam giác cân tại D. Phần b: Chứng minh $PH \perp AB$ 1. Xét giao điểm H của AC và BD: - Gọi giao điểm của AC và BD là H. - Vì $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$, nên H nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. 2. Xét giao điểm P của AD và BC: - Gọi giao điểm của AD và BC là P. - Vì $\Delta ACP$ và $\Delta BDP$ đều là tam giác cân, nên P cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. 3. Chứng minh $PH \perp AB$: - Đường trung trực của đoạn thẳng CD đi qua tâm O của nửa đường tròn (vì O là trung điểm của AB). - Do đó, đường thẳng PH đi qua tâm O và vuông góc với đoạn thẳng CD. - Vì CD vuông góc với AB (do $\widehat{COD} = 90^\circ$), nên PH cũng vuông góc với AB. Vậy ta đã chứng minh được: - $\Delta ACP$ và $\Delta BDP$ là các tam giác cân. - $PH \perp AB$. Bài 6: Để chứng minh các khẳng định trong bài toán, ta sẽ thực hiện các bước sau: a. Chứng minh $\overset\frown{CM} = \overset\frown{CN}$ 1. Xét tam giác ABC nhọn: - Ta có đường cao AH từ A hạ xuống BC, cắt đường tròn (O) tại M. - Đường cao BK từ B hạ xuống AC, cắt đường tròn (O) tại N. 2. Xét các góc nội tiếp: - Góc $\widehat{BAM}$ và $\widehat{CAN}$ là các góc nội tiếp chắn cung $\overset\frown{BM}$ và $\overset\frown{BN}$ tương ứng. - Vì AH và BK là các đường cao, nên $\widehat{AHB} = \widehat{BKA} = 90^\circ$. 3. Xét các tam giác vuông: - Xét tam giác vuông AHB và BKA: - $\widehat{AHB} = \widehat{BKA} = 90^\circ$ - $\widehat{ABH} = \widehat{BAK}$ (góc chung) - Do đó, tam giác AHB và BKA đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g). 4. Từ đồng dạng suy ra các tỉ lệ: - Từ đồng dạng, ta có: \[ \frac{AH}{BK} = \frac{BH}{AK} \] - Điều này cũng có nghĩa là các đoạn thẳng AH và BK tạo ra các tỉ lệ bằng nhau với các đoạn thẳng BH và AK. 5. Xét các cung trên đường tròn: - Vì $\widehat{BAM} = \widehat{CAN}$ (cùng chắn cung $\overset\frown{BM}$ và $\overset\frown{BN}$), nên các cung $\overset\frown{CM}$ và $\overset\frown{CN}$ phải bằng nhau. Do đó, ta đã chứng minh được $\overset\frown{CM} = \overset\frown{CN}$. b. Chứng minh AC là tia phân giác của góc $\widehat{MAN}$ 1. Xét các góc nội tiếp: - Góc $\widehat{MAC}$ và $\widehat{NAC}$ là các góc nội tiếp chắn cung $\overset\frown{MC}$ và $\overset\frown{NC}$ tương ứng. 2. Sử dụng kết quả từ phần a: - Ta đã chứng minh $\overset\frown{CM} = \overset\frown{CN}$, do đó các góc nội tiếp chắn các cung này cũng bằng nhau: \[ \widehat{MAC} = \widehat{NAC} \] 3. Kết luận: - Vì $\widehat{MAC} = \widehat{NAC}$, nên AC là tia phân giác của góc $\widehat{MAN}$. Do đó, ta đã chứng minh được AC là tia phân giác của góc $\widehat{MAN}$. Bài 7: a. So sánh hai góc $\widehat{MCN}$ và $\widehat{BNC}$: - Ta thấy rằng $\widehat{MCN}$ và $\widehat{BNC}$ đều là góc nội tiếp chắn cung MN. - Theo tính chất của góc nội tiếp, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. - Do đó, ta có $\widehat{MCN} = \widehat{BNC}$. b. Chứng minh $IM = IB$ và $IN = IC$: - Xét tam giác IMB và INB: + $\widehat{IMB} = \widehat{INB}$ vì cả hai góc này đều bằng $\widehat{BNC}$ (chắn cung MN). + $\widehat{IBM} = \widehat{IBN}$ vì tia BM là tia phân giác của góc ABC. + MB chung. - Vậy theo trường hợp đồng dạng góc - góc - cạnh (g-g-c), ta có tam giác IMB đồng dạng với tam giác INB. - Từ đó suy ra $IM = IB$ và $IN = IB$. - Xét tam giác INC và INB: + $\widehat{INC} = \widehat{INB}$ vì cả hai góc này đều bằng $\widehat{BNC}$ (chắn cung MN). + $\widehat{ICN} = \widehat{IBN}$ vì tia BM là tia phân giác của góc ABC. + IN chung. - Vậy theo trường hợp đồng dạng góc - góc - cạnh (g-g-c), ta có tam giác INC đồng dạng với tam giác INB. - Từ đó suy ra $IN = IC$ và $IN = IB$. Vậy ta đã chứng minh được $IM = IB$ và $IN = IC$. Bài 8: Để chứng minh các yêu cầu của đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a. Chứng minh rằng BC là tia phân giác của góc $\overset\frown{HBE}$ 1. Xét tam giác AHE: - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC tại I. - Do đó, góc AHE là góc vuông (90°). 2. Xét tam giác BHE: - Góc BHE cũng là góc vuông (90°) vì H là trực tâm và HE vuông góc với AB. 3. Xét tam giác CHE: - Góc CHE cũng là góc vuông (90°) vì H là trực tâm và HE vuông góc với AC. 4. Xét tam giác BIC và CIE: - Vì AH vuông góc với BC tại I, nên góc BIC và CIE đều là góc vuông (90°). 5. Xét tam giác BHE và CHE: - Vì cả hai tam giác này đều có góc vuông tại H, và chung cạnh HE, nên góc BHE và CHE bằng nhau. Do đó, BC là tia phân giác của góc $\overset\frown{HBE}$. b. Chứng minh rằng H và E đối xứng với nhau qua BC 1. Xét tam giác BHE và CHE: - Vì góc BHE và CHE đều là góc vuông (90°) và chung cạnh HE, nên tam giác BHE và CHE là tam giác vuông cân tại H. 2. Xét tính chất của tam giác vuông cân: - Trong tam giác vuông cân, hai góc ở đáy bằng nhau và mỗi góc ở đáy bằng 45°. 3. Xét tính chất của đường tròn: - Vì E nằm trên đường tròn (O) và H nằm trong tam giác ABC, nên đoạn thẳng HE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE và CHE. 4. Xét tính chất của đường kính: - Đường kính của một đường tròn tạo thành hai góc vuông với các dây cung đi qua hai đầu của nó. Do đó, H và E đối xứng với nhau qua BC. Kết luận: - BC là tia phân giác của góc $\overset\frown{HBE}$. - H và E đối xứng với nhau qua BC.