giải giúp với ạ

Câu 3 a) Giải phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\frac{x+3}2.$ Điều kiện xác định: \( x \geq 1 \) Nhận thấy rằng \( x + 2\sqrt{x-1} \) và \( x - 2\sqrt{x-1} \) đều là các biểu thức liên quan đến căn bậc hai. Ta đặt \( t = \sqrt{x-1} \), do đó \( x = t^2 + 1 \). Thay vào phương trình ban đầu ta có: \[ \sqrt{t^2 + 1 + 2t} + \sqrt{t^2 + 1 - 2t} = \frac{t^2 + 1 + 3}{2} \] \[ \sqrt{(t+1)^2} + \sqrt{(t-1)^2} = \frac{t^2 + 4}{2} \] \[ |t+1| + |t-1| = \frac{t^2 + 4}{2} \] Xét các trường hợp: - Trường hợp 1: \( t \geq 1 \) \[ (t+1) + (t-1) = \frac{t^2 + 4}{2} \] \[ 2t = \frac{t^2 + 4}{2} \] \[ 4t = t^2 + 4 \] \[ t^2 - 4t + 4 = 0 \] \[ (t-2)^2 = 0 \] \[ t = 2 \] Do đó \( x = t^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5 \) - Trường hợp 2: \( -1 \leq t < 1 \) \[ (t+1) + (1-t) = \frac{t^2 + 4}{2} \] \[ 2 = \frac{t^2 + 4}{2} \] \[ 4 = t^2 + 4 \] \[ t^2 = 0 \] \[ t = 0 \] Do đó \( x = t^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1 \) - Trường hợp 3: \( t < -1 \) \[ -(t+1) + -(t-1) = \frac{t^2 + 4}{2} \] \[ -2t = \frac{t^2 + 4}{2} \] \[ -4t = t^2 + 4 \] \[ t^2 + 4t + 4 = 0 \] \[ (t+2)^2 = 0 \] \[ t = -2 \] Do đó \( x = t^2 + 1 = (-2)^2 + 1 = 5 \) Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( x = 5 \). b) Cho \( x, y \geq 0 \) thỏa mãn \( x^2 + y^2 = 1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \sqrt{1 + 2x} + \sqrt{1 + 2y} \). Đặt \( x = \cos \theta \) và \( y = \sin \theta \) với \( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \). Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \sqrt{1 + 2\cos \theta} + \sqrt{1 + 2\sin \theta} \] Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \). Xét \( f(\theta) = \sqrt{1 + 2\cos \theta} + \sqrt{1 + 2\sin \theta} \). Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét các giá trị đặc biệt: - Khi \( \theta = 0 \): \[ P = \sqrt{1 + 2 \cdot 1} + \sqrt{1 + 2 \cdot 0} = \sqrt{3} + 1 \] - Khi \( \theta = \frac{\pi}{2} \): \[ P = \sqrt{1 + 2 \cdot 0} + \sqrt{1 + 2 \cdot 1} = 1 + \sqrt{3} \] - Khi \( \theta = \frac{\pi}{4} \): \[ P = \sqrt{1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{1 + \sqrt{2}} + \sqrt{1 + \sqrt{2}} = 2\sqrt{1 + \sqrt{2}} \] So sánh các giá trị trên, ta thấy \( 2\sqrt{1 + \sqrt{2}} \approx 3.06 \) là giá trị nhỏ nhất. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( 2\sqrt{1 + \sqrt{2}} \). Câu 4 a) Ta có: $y=(2-m)x+m+1=2x-m(x-1)+1$ Nhận thấy: $(x-1)=0$ khi $x=1$. Thay vào ta có $y=3$ Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M(1;3) b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là: $O(d)=\frac{|m+1|}{\sqrt{(2-m)^{2}+1}}=\frac{\sqrt{(m+1)^{2}}}{\sqrt{m^{2}-4m+5}}=\sqrt{\frac{m^{2}+2m+1}{m^{2}-4m+5}}=\sqrt{1+\frac{6m}{m^{2}-4m+5}}$ Ta có: $\frac{6m}{m^{2}-4m+5}=\frac{6}{m+\frac{5}{m}-4}\leq \frac{6}{2\sqrt{m.\frac{5}{m}}-4}=\frac{3}{\sqrt{5}-2}=3(\sqrt{5}+2)$ Dấu bằng xảy ra khi $m=\frac{5}{m}$ hay $m=\sqrt{5}$ Vậy $O(d)\leq \sqrt{1+3(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{3\sqrt{5}+7}$ Khi đó $O(d)$ đạt giá trị lớn nhất khi $m=\sqrt{5}$ c) Gọi đường thẳng (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Ta có: $A(\frac{m+1}{m-2};0)$ và $B(0;m+1)$ Tam giác AOB vuông tại O nên diện tích tam giác AOB là: $S_{AOB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}|\frac{m+1}{m-2}|.|m+1|=2$ $\Rightarrow |m+1|^{2}=4|m-2|$ $\Rightarrow (m+1)^{2}=4(m-2)$ hoặc $(m+1)^{2}=-4(m-2)$ $\Rightarrow m^{2}+6m-7=0$ hoặc $m^{2}+10m-7=0$ $\Rightarrow m=1$ hoặc $m=-7$ hoặc $m=-5-\sqrt{32}$ hoặc $m=-5+\sqrt{32}$ Vậy $m=1$ hoặc $m=-7$ hoặc $m=-5-\sqrt{32}$ hoặc $m=-5+\sqrt{32}$