Giải giúp toi

Câu 14: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng điểm và miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kiểm tra điểm $(0;2)$: - Thay $x = 0$ và $y = 2$ vào các bất phương trình: - $2(0) + 3(2) - 6 = 0 \leq 0$ (đúng) - $0 \geq 0$ (đúng) - $2(0) - 3(2) - 1 = -7 \leq 0$ (đúng) Do đó, điểm $(0;2)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Mệnh đề a) sai. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình: - Bất phương trình $2x + 3y - 6 \leq 0$: Đồ thị là một nửa mặt phẳng bao gồm đường thẳng $2x + 3y = 6$ và phía dưới nó. - Bất phương trình $x \geq 0$: Đồ thị là nửa mặt phẳng bao gồm trục Oy và phía bên phải nó. - Bất phương trình $2x - 3y - 1 \leq 0$: Đồ thị là một nửa mặt phẳng bao gồm đường thẳng $2x - 3y = 1$ và phía dưới nó. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của ba nửa mặt phẳng này. Khi vẽ đồ thị, ta thấy miền nghiệm là một tam giác. Mệnh đề b) đúng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $L = y - x$: - Biểu thức $L = y - x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của miền nghiệm. Ta cần tìm giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của $2x + 3y = 6$ và $2x - 3y = 1$: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y = 6 \\ 2x - 3y = 1 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình: \[ 4x = 7 \implies x = \frac{7}{4} \] Thay $x = \frac{7}{4}$ vào $2x + 3y = 6$: \[ 2 \left(\frac{7}{4}\right) + 3y = 6 \implies \frac{7}{2} + 3y = 6 \implies 3y = 6 - \frac{7}{2} = \frac{5}{2} \implies y = \frac{5}{6} \] Điểm giao là $\left(\frac{7}{4}, \frac{5}{6}\right)$. - Tại điểm này: \[ L = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = \frac{5}{6} - \frac{21}{12} = \frac{10}{12} - \frac{21}{12} = -\frac{11}{12} \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của $L$ là $-\frac{11}{12}$. Mệnh đề c) sai. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = 2x - 3y$: - Biểu thức $T = 2x - 3y$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của miền nghiệm. Ta cần kiểm tra các đỉnh: - Điểm $(0, 2)$: \[ T = 2(0) - 3(2) = -6 \] - Điểm $(\frac{7}{4}, \frac{5}{6})$: \[ T = 2 \left(\frac{7}{4}\right) - 3 \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = 1 \] Do đó, giá trị lớn nhất của $T$ là 1. Mệnh đề d) đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 15: a) Mức lương trung bình của các cán bộ và nhân viên là: \[ \overline{x} = \frac{20910 + 76000 + 20350 + 20060 + 21410 + 20110 + 21410 + 21360 + 20350 + 21130 + 20960 + 125000}{12} \] \[ \overline{x} = \frac{409040}{12} = 34086,67 \] b) Mức lương lớn nhất là: \[ 76000 \] c) Để tìm số trung vị, ta sắp xếp các mức lương theo thứ tự tăng dần: \[ 20060, 20350, 20350, 20910, 20960, 21130, 21360, 21410, 21410, 76000, 125000 \] Số trung vị là giá trị ở giữa của dãy số đã sắp xếp. Vì có 12 giá trị, số trung vị sẽ là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí thứ 6 và thứ 7: \[ \text{Số trung vị} = \frac{21130 + 21360}{2} = \frac{42490}{2} = 21245 \] d) Có thể lấy mức lương bình quân làm giá trị đại diện vì nó phản ánh trung bình của tất cả các mức lương. Đáp số: a) Mức lương trung bình: 34086,67 b) Mức lương lớn nhất: 76000 c) Số trung vị: 21245 d) Có thể lấy mức lương bình quân làm giá trị đại diện. Câu 16: Trước tiên, ta tính $\sin A$ từ $\cos A = \frac{3}{5}$: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \implies \sin^2 A + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 A + \frac{9}{25} = 1 \implies \sin^2 A = \frac{16}{25} \implies \sin A = \frac{4}{5} \] Vì $\sin A > 0$, nên ta chọn đáp án a). Tiếp theo, ta tính diện tích $S$ của tam giác ABC: \[ S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4 = 14 \] Vậy ta chọn đáp án b). Bây giờ, ta tính độ dài cạnh $a$ bằng công thức余弦定理： \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32 \implies a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] 因此，选项c是错误的。 最后，我们计算内切圆半径$r$： \[ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4\sqrt{2} + 7 + 5}{2} = \frac{12 + 4\sqrt{2}}{2} = 6 + 2\sqrt{2} \] \[ r = \frac{S}{p} = \frac{14}{6 + 2\sqrt{2}} = \frac{14(6 - 2\sqrt{2})}{(6 + 2\sqrt{2})(6 - 2\sqrt{2})} = \frac{14(6 - 2\sqrt{2})}{36 - 8} = \frac{14(6 - 2\sqrt{2})}{28} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2} \] 因此，选项d是错误的。 综上所述，正确答案是： a) $\sin A > 0$ b) $S = 14$ 最终答案是：a) 和 b)。 Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số học sinh tham gia tiết mục hát. Bước 1: Xác định tổng số học sinh trong lớp và số học sinh không tham gia bất kỳ tiết mục nào. - Tổng số học sinh trong lớp: 45 học sinh. - Số học sinh không tham gia bất kỳ tiết mục nào: 4 học sinh (Kiệt, Hạ, Toàn, Thiện). Bước 2: Tính số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục. - Số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục = Tổng số học sinh - Số học sinh không tham gia bất kỳ tiết mục nào. - Số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục = 45 - 4 = 41 học sinh. Bước 3: Xác định số học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob và cả hai tiết mục. - Số học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob: 35 học sinh. - Số học sinh tham gia cả hai tiết mục: 10 học sinh. Bước 4: Tính số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob. - Số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob = Số học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob - Số học sinh tham gia cả hai tiết mục. - Số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob = 35 - 10 = 25 học sinh. Bước 5: Tính số học sinh tham gia tiết mục hát. - Số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục = Số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob + Số học sinh chỉ tham gia tiết mục hát + Số học sinh tham gia cả hai tiết mục. - Số học sinh chỉ tham gia tiết mục hát = Số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục - Số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob - Số học sinh tham gia cả hai tiết mục. - Số học sinh chỉ tham gia tiết mục hát = 41 - 25 - 10 = 6 học sinh. Bước 6: Tính tổng số học sinh tham gia tiết mục hát (bao gồm cả những học sinh tham gia cả hai tiết mục). - Số học sinh tham gia tiết mục hát = Số học sinh chỉ tham gia tiết mục hát + Số học sinh tham gia cả hai tiết mục. - Số học sinh tham gia tiết mục hát = 6 + 10 = 16 học sinh. Vậy, có 16 học sinh trong lớp tham gia tiết mục hát. Đáp số: 16 học sinh. Câu 18: Để tính số trung vị của mẫu số liệu trên, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp các số liệu theo thứ tự từ bé đến lớn. 2. Xác định vị trí của số trung vị. Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự từ bé đến lớn: 100, 95, 87, 82, 79, 76, 74, 72, 65, 64, 64, 62, 61, 60, 59, 59, 58, 58, 57, 56, 55, 54, 54, 50, 49, 49, 46, 38, 35, 23 Bước 2: Xác định vị trí của số trung vị: - Số lượng số liệu là 30 (số chẵn). - Vị trí của số trung vị là ở giữa hai số ở vị trí thứ 15 và 16. Ta thấy rằng số ở vị trí thứ 15 là 59 và số ở vị trí thứ 16 cũng là 59. Do đó, số trung vị của mẫu số liệu trên là: \(\frac{59 + 59}{2} = 59\) Vậy số trung vị của mẫu số liệu trên là 59. Câu 19: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 1; 7; 9; 9; 10; 10; 10; 12; 12; 14 2. Tìm giá trị Q1 (quartile 1) - giá trị ở vị trí 1/4 của mẫu số liệu: - Số lượng dữ liệu là 10, do đó vị trí của Q1 là (10 + 1) / 4 = 2,75 - Giá trị Q1 nằm giữa giá trị thứ 2 và giá trị thứ 3 trong dãy đã sắp xếp. - Giá trị thứ 2 là 7 và giá trị thứ 3 là 9. - Do đó, Q1 = 7 + 0,75 (9 - 7) = 7 + 0,75 2 = 7 + 1,5 = 8,5 3. Tìm giá trị Q3 (quartile 3) - giá trị ở vị trí 3/4 của mẫu số liệu: - Vị trí của Q3 là 3 (10 + 1) / 4 = 8,25 - Giá trị Q3 nằm giữa giá trị thứ 8 và giá trị thứ 9 trong dãy đã sắp xếp. - Giá trị thứ 8 là 12 và giá trị thứ 9 là 12. - Do đó, Q3 = 12 + 0,25 (12 - 12) = 12 + 0,25 0 = 12 4. Tính khoảng tứ phân vị (IQR): IQR = Q3 - Q1 = 12 - 8,5 = 3,5 Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này là 3,5. Đáp số: 3,5 Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp lập phương trình và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số. Bước 1: Gọi số mét vuông đất trồng hoa cúc là \( x \) (m²) và số mét vuông đất trồng hoa hồng là \( y \) (m²). Bước 2: Xác định các điều kiện ràng buộc: - Diện tích tổng cộng: \( x + y = 800 \) - Số công làm việc: \( 20x + 30y \leq 1800 \) - Số kg phân bón: \( 4x + 6y \leq 400 \) Bước 3: Biểu diễn lợi nhuận: - Lợi nhuận từ hoa cúc: \( \frac{8}{100} \times x = 0.08x \) (triệu đồng) - Lợi nhuận từ hoa hồng: \( \frac{10}{100} \times y = 0.1y \) (triệu đồng) - Tổng lợi nhuận: \( N = 0.08x + 0.1y \) Bước 4: Thay \( y = 800 - x \) vào biểu thức lợi nhuận: \[ N = 0.08x + 0.1(800 - x) \] \[ N = 0.08x + 80 - 0.1x \] \[ N = 80 - 0.02x \] Bước 5: Xác định các giá trị của \( x \) thỏa mãn các điều kiện ràng buộc: - \( 20x + 30(800 - x) \leq 1800 \) \[ 20x + 24000 - 30x \leq 1800 \] \[ -10x \leq -22200 \] \[ x \geq 220 \] - \( 4x + 6(800 - x) \leq 400 \) \[ 4x + 4800 - 6x \leq 400 \] \[ -2x \leq -4400 \] \[ x \geq 2200 \] Từ hai điều kiện trên, ta thấy \( x \geq 220 \) và \( x \leq 2200 \). Tuy nhiên, do \( x + y = 800 \), nên \( x \leq 800 \). Bước 6: Tìm giá trị lớn nhất của \( N \): - Khi \( x = 220 \): \[ y = 800 - 220 = 580 \] \[ N = 80 - 0.02 \times 220 = 80 - 4.4 = 75.6 \] (triệu đồng) - Khi \( x = 800 \): \[ y = 800 - 800 = 0 \] \[ N = 80 - 0.02 \times 800 = 80 - 16 = 64 \] (triệu đồng) Như vậy, giá trị lớn nhất của lợi nhuận là 75.6 triệu đồng, đạt được khi trồng 220 m² hoa cúc và 580 m² hoa hồng. Đáp số: 75.6 triệu đồng. Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý sin trong tam giác. Cụ thể, ta sẽ áp dụng định lý sin để tính chiều cao của tháp thông tin. Giả sử: - Chiều cao của tòa nhà là \( h_1 \). - Chiều cao của tháp thông tin là \( h_2 \). - Tổng chiều cao từ mặt đất đến đỉnh tháp là \( H \). Theo đề bài, ta có: - Góc nhìn từ điểm A lên đỉnh tháp thông tin là \( \alpha \). - Góc nhìn từ điểm A lên đỉnh tòa nhà là \( \beta \). - Khoảng cách từ điểm A đến chân tòa nhà là \( d \). Áp dụng định lý sin trong tam giác: \[ \frac{H}{\sin(\alpha)} = \frac{d}{\sin(90^\circ - \alpha)} \] \[ \frac{h_1}{\sin(\beta)} = \frac{d}{\sin(90^\circ - \beta)} \] Từ đây, ta có thể tính \( H \) và \( h_1 \): \[ H = d \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] \[ h_1 = d \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \] Chiều cao của tháp thông tin \( h_2 \) sẽ là: \[ h_2 = H - h_1 \] Vậy, chiều cao của tháp thông tin là: \[ h_2 = d \cdot \left( \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \right) \] Để có kết quả cụ thể, ta cần biết các giá trị của \( d \), \( \alpha \), và \( \beta \). Sau khi thay các giá trị này vào công thức trên, ta sẽ tính được chiều cao của tháp thông tin. Ví dụ, nếu \( d = 100 \) mét, \( \alpha = 60^\circ \), và \( \beta = 45^\circ \), ta có: \[ h_2 = 100 \cdot \left( \frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)} - \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} \right) \] \[ = 100 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} - \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} \right) \] \[ = 100 \cdot (\sqrt{3} - 1) \] \[ = 100 \cdot (1.732 - 1) \] \[ = 100 \cdot 0.732 \] \[ = 73.2 \text{ mét} \] Vậy, chiều cao của tháp thông tin là 73.2 mét.