Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần áp dụng các quy tắc đã đưa ra và chỉ sử dụng các phép toán cơ bản như cộng và trừ. Dưới đây là cách giải chi tiết cho từng phần của bài toán: Phần a: Tìm x, biết \( |x + 2019| + |x + 2020| + |x + 2021| = 13x \) Chúng ta sẽ xét các trường hợp khác nhau dựa vào giá trị của \( x \): 1. Trường hợp 1: \( x \geq -2019 \) - \( |x + 2019| = x + 2019 \) - \( |x + 2020| = x + 2020 \) - \( |x + 2021| = x + 2021 \) Thay vào phương trình: \[ (x + 2019) + (x + 2020) + (x + 2021) = 13x \] \[ 3x + 6060 = 13x \] \[ 6060 = 10x \] \[ x = 606 \] 2. Trường hợp 2: \( x < -2019 \) - \( |x + 2019| = -(x + 2019) = -x - 2019 \) - \( |x + 2020| = -(x + 2020) = -x - 2020 \) - \( |x + 2021| = -(x + 2021) = -x - 2021 \) Thay vào phương trình: \[ (-x - 2019) + (-x - 2020) + (-x - 2021) = 13x \] \[ -3x - 6060 = 13x \] \[ -6060 = 16x \] \[ x = -378.75 \] Kết quả này không thỏa mãn điều kiện \( x < -2019 \), nên bị loại. Vậy, kết quả cuối cùng là \( x = 606 \). Phần b: Tìm x, biết \( (\frac{1}{2})^{x+1} + (\frac{1}{2})^{x+2} = |-\frac{3}{64}| \) Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng cách sử dụng các phép toán cơ bản: 1. Biến đổi biểu thức: \[ (\frac{1}{2})^{x+1} + (\frac{1}{2})^{x+2} = \frac{3}{64} \] \[ (\frac{1}{2})^{x+1} + (\frac{1}{2})^{x+1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{64} \] \[ (\frac{1}{2})^{x+1} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{64} \] \[ (\frac{1}{2})^{x+1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{64} \] \[ (\frac{1}{2})^{x+1} = \frac{3}{64} \cdot \frac{2}{3} \] \[ (\frac{1}{2})^{x+1} = \frac{1}{32} \] \[ (\frac{1}{2})^{x+1} = (\frac{1}{2})^5 \] \[ x + 1 = 5 \] \[ x = 4 \] Vậy, kết quả cuối cùng là \( x = 4 \). Bài 2 Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\) sao cho biểu thức \(|x-2| + |y-1| + (z+1)^2 = 0\) đúng. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng: - \(|x-2|\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0. - \(|y-1|\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0. - \((z+1)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, để tổng của ba biểu thức này bằng 0, mỗi biểu thức phải bằng 0. 1. \(|x-2| = 0\) Điều này có nghĩa là \(x-2 = 0\), vậy \(x = 2\). 2. \(|y-1| = 0\) Điều này có nghĩa là \(y-1 = 0\), vậy \(y = 1\). 3. \((z+1)^2 = 0\) Điều này có nghĩa là \(z+1 = 0\), vậy \(z = -1\). Bây giờ, chúng ta đã tìm được giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\): - \(x = 2\) - \(y = 1\) - \(z = -1\) Tiếp theo, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \(A = 5x^2y^{2023} \cdot z\): 1. Tính \(x^2\): \(x^2 = 2^2 = 4\) 2. Tính \(y^{2023}\): \(y = 1\), nên \(y^{2023} = 1^{2023} = 1\) 3. Tính \(5x^2y^{2023}\): \(5x^2y^{2023} = 5 \times 4 \times 1 = 20\) 4. Tính \(A = 5x^2y^{2023} \cdot z\): \(A = 20 \times (-1) = -20\) Vậy giá trị của biểu thức \(A\) là \(-20\). Bài 3. Để tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình \( |y + 2011| + 30 = \frac{2010}{(2x + 6)^2 + 67} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xét giá trị của mẫu số: Ta thấy rằng \((2x + 6)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vì bình phương của bất kỳ số nào cũng không âm. Do đó, \((2x + 6)^2 + 67\) luôn lớn hơn hoặc bằng 67. 2. Xét giá trị của phân số: Vì \((2x + 6)^2 + 67 \geq 67\), nên \(\frac{2010}{(2x + 6)^2 + 67}\) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng \(\frac{2010}{67}\). Ta tính: \[ \frac{2010}{67} = 30 \] Do đó, \(\frac{2010}{(2x + 6)^2 + 67} \leq 30\). 3. Xét giá trị của biểu thức bên trái: Biểu thức \( |y + 2011| + 30 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 30 vì \( |y + 2011| \geq 0 \). 4. So sánh hai biểu thức: Để phương trình \( |y + 2011| + 30 = \frac{2010}{(2x + 6)^2 + 67} \) đúng, thì cả hai biểu thức phải bằng nhau. Điều này chỉ xảy ra khi: \[ |y + 2011| + 30 = 30 \] Điều này chỉ đúng khi \( |y + 2011| = 0 \), tức là \( y + 2011 = 0 \). Vậy: \[ y = -2011 \] 5. Xác định giá trị của x: Để \(\frac{2010}{(2x + 6)^2 + 67} = 30\), ta có: \[ (2x + 6)^2 + 67 = \frac{2010}{30} = 67 \] Điều này chỉ đúng khi: \[ (2x + 6)^2 = 0 \] Vậy: \[ 2x + 6 = 0 \implies 2x = -6 \implies x = -3 \] Kết luận, cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình là: \[ (x, y) = (-3, -2011) \] Bài 5 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = |7x - 5y| + |2z - 3x| + |xy + yz + xz - 2000| \), chúng ta cần xem xét từng phần của biểu thức này. 1. Xét biểu thức \( |7x - 5y| \): - Giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó \( |7x - 5y| \geq 0 \). 2. Xét biểu thức \( |2z - 3x| \): - Tương tự, giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó \( |2z - 3x| \geq 0 \). 3. Xét biểu thức \( |xy + yz + xz - 2000| \): - Giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó \( |xy + yz + xz - 2000| \geq 0 \). Do đó, tổng của ba biểu thức này cũng sẽ lớn hơn hoặc bằng 0: \[ P = |7x - 5y| + |2z - 3x| + |xy + yz + xz - 2000| \geq 0 \] Để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất, tất cả các biểu thức trong tổng phải bằng 0: \[ |7x - 5y| = 0 \] \[ |2z - 3x| = 0 \] \[ |xy + yz + xz - 2000| = 0 \] Từ đây, ta có: \[ 7x - 5y = 0 \] \[ 2z - 3x = 0 \] \[ xy + yz + xz = 2000 \] Giải các phương trình này: 1. \( 7x = 5y \) - Chọn \( x = 5 \) và \( y = 7 \) (hoặc các bội số của chúng). 2. \( 2z = 3x \) - Thay \( x = 5 \) vào, ta có \( 2z = 3 \times 5 = 15 \) - Do đó, \( z = \frac{15}{2} \). Nhưng vì chúng ta chỉ sử dụng số tự nhiên, ta chọn \( x = 10 \) và \( y = 14 \), từ đó \( z = 15 \). 3. Kiểm tra \( xy + yz + xz = 2000 \): - Thay \( x = 10 \), \( y = 14 \), \( z = 15 \): \[ xy + yz + xz = 10 \times 14 + 14 \times 15 + 10 \times 15 = 140 + 210 + 150 = 500 \neq 2000 \] Do đó, ta cần tìm các giá trị khác sao cho \( xy + yz + xz = 2000 \). Ta thử với \( x = 20 \), \( y = 28 \), \( z = 30 \): \[ xy + yz + xz = 20 \times 28 + 28 \times 30 + 20 \times 30 = 560 + 840 + 600 = 2000 \] Vậy, khi \( x = 20 \), \( y = 28 \), \( z = 30 \), ta có: \[ |7x - 5y| = |7 \times 20 - 5 \times 28| = |140 - 140| = 0 \] \[ |2z - 3x| = |2 \times 30 - 3 \times 20| = |60 - 60| = 0 \] \[ |xy + yz + xz - 2000| = |20 \times 28 + 28 \times 30 + 20 \times 30 - 2000| = |2000 - 2000| = 0 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là: \[ P = 0 + 0 + 0 = 0 \] Đáp số: \( P_{min} = 0 \) Bài 6: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{|x-2019| + 2020}{|x-2019| + 2021} \), chúng ta cần xem xét giá trị của \( |x-2019| \). 1. Xét trường hợp \( |x-2019| = 0 \): - Nếu \( |x-2019| = 0 \), tức là \( x = 2019 \). - Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{0 + 2020}{0 + 2021} = \frac{2020}{2021} \] 2. Xét trường hợp \( |x-2019| > 0 \): - Khi \( |x-2019| > 0 \), biểu thức \( A \) sẽ có dạng: \[ A = \frac{|x-2019| + 2020}{|x-2019| + 2021} \] - Ta thấy rằng \( |x-2019| \) luôn lớn hơn 0, do đó \( |x-2019| + 2020 \) luôn nhỏ hơn \( |x-2019| + 2021 \). Điều này có nghĩa là: \[ \frac{|x-2019| + 2020}{|x-2019| + 2021} < 1 \] - Tuy nhiên, khi \( |x-2019| \) càng tăng, thì \( \frac{|x-2019| + 2020}{|x-2019| + 2021} \) sẽ càng gần 1 nhưng không bao giờ bằng hoặc lớn hơn 1. 3. So sánh các trường hợp: - Trong trường hợp \( |x-2019| = 0 \), giá trị của \( A \) là \( \frac{2020}{2021} \). - Trong trường hợp \( |x-2019| > 0 \), giá trị của \( A \) luôn nhỏ hơn 1 nhưng lớn hơn \( \frac{2020}{2021} \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( \frac{2020}{2021} \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( \frac{2020}{2021} \).