<p>hhhhhhhhhh</p>

Câu 12. Để tính giới hạn của biểu thức \( A = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ A = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) \] Nhân lượng liên hợp: \[ A = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] Bước 2: Thực hiện phép nhân: \[ A = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x})^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] \[ A = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] \[ A = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ A = \lim_{x \to \infty} \frac{2x/x}{\sqrt{x^2 + 2x}/x + x/x} \] \[ A = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} \] Bước 4: Tính giới hạn khi \( x \to \infty \): \[ A = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} \] \[ A = \frac{2}{1 + 1} \] \[ A = \frac{2}{2} \] \[ A = 1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~L=1. \] Câu 13. a) Dãy số đã cho là cấp số cộng. Đúng vì mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với cùng một số 3. b) Có $u_7 + u_4 = 2u_1 + 11d$. Sai vì $u_7 + u_4 = 17 + 8 = 25$, còn $2u_1 + 11d = 2(-1) + 11 \times 3 = -2 + 33 = 31$. c) Nếu dãy số đã cho là một cấp số cộng thì công sai của cấp số cộng là $d = 2$. Sai vì công sai của cấp số cộng là $d = 3$. d) Tổng tất cả số hạng của dãy số bằng 65. Đúng vì tổng của dãy số là $(u_1 + u_n) \times n : 2 = (-1 + 17) \times 7 : 2 = 16 \times 7 : 2 = 112 : 2 = 65$. Câu 14. a) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau. - Đúng trong trường hợp hai đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng. - Sai trong trường hợp hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng (hình học không gian). b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng chéo nhau. - Sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau tùy thuộc vào vị trí của chúng trong không gian. c) Hai đường thẳng có điểm chung thì chúng cắt nhau. - Đúng vì hai đường thẳng có điểm chung tức là chúng cắt nhau tại điểm đó. d) Hai đường thẳng không thể cùng nằm trên một mặt phẳng thì chúng chéo nhau. - Đúng vì hai đường thẳng không thể cùng nằm trên một mặt phẳng tức là chúng chéo nhau trong không gian. Kết luận: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 15. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các đường thẳng và mặt phẳng song song trong hình học không gian. Khẳng định a) \( MN \parallel (ABC) \) - Ta có \( SM = 2MA \) và \( SN = 2NB \). Điều này cho thấy \( M \) và \( N \) chia đoạn thẳng \( SA \) và \( SB \) theo tỉ số \( \frac{2}{3} \). - Theo tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng, nếu hai đường thẳng \( MA \) và \( NB \) cắt nhau tại \( S \) và \( M \) và \( N \) nằm trên các đường thẳng \( SA \) và \( SB \) tương ứng, thì \( MN \) sẽ song song với \( AB \). - Vì \( AB \subset (ABC) \), nên \( MN \parallel (ABC) \). Kết luận: Khẳng định a) đúng. Khẳng định b) \( (MNP) \parallel (ABC) \) với \( P \) là điểm thuộc \( SC \) sao cho \( SP = 2PC \) - Ta có \( SP = 2PC \), điều này cho thấy \( P \) chia đoạn thẳng \( SC \) theo tỉ số \( \frac{2}{3} \). - Theo tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng, nếu ba đường thẳng \( MA \), \( NB \), và \( PC \) cắt nhau tại \( S \) và \( M \), \( N \), \( P \) nằm trên các đường thẳng \( SA \), \( SB \), và \( SC \) tương ứng, thì \( MN \parallel AB \), \( NP \parallel BC \), và \( PM \parallel CA \). - Vì \( AB \), \( BC \), và \( CA \) đều nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \), nên \( (MNP) \parallel (ABC) \). Kết luận: Khẳng định b) đúng. Khẳng định c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua \( M \) và song song với \( (ABC) \) là tứ giác - Mặt phẳng qua \( M \) và song song với \( (ABC) \) sẽ cắt các cạnh \( SA \), \( SB \), và \( SC \) tại các điểm \( M \), \( N \), và \( P \) tương ứng. - Như đã chứng minh ở trên, \( MN \parallel AB \), \( NP \parallel BC \), và \( PM \parallel CA \). Do đó, hình thu được là một tứ giác. Kết luận: Khẳng định c) đúng. Khẳng định d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua \( M \) và song song với \( (ABC) \) là \( 4\sqrt{3} \, cm^2 \) - Diện tích của tam giác đều \( ABC \) là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3} \, cm^2 \] - Mặt phẳng qua \( M \) và song song với \( (ABC) \) cắt các cạnh \( SA \), \( SB \), và \( SC \) theo tỉ số \( \frac{2}{3} \). Do đó, diện tích của tam giác \( MNP \) sẽ là: \[ S_{MNP} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times S_{ABC} = \frac{4}{9} \times 9\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \, cm^2 \] Kết luận: Khẳng định d) đúng. Đáp án cuối cùng: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 16. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 2$ Hàm số $g(x) = \frac{2}{x - 1}$. Để kiểm tra tính liên tục của $g(x)$ tại điểm $x_0 = 2$, chúng ta cần kiểm tra ba điều kiện: 1. $g(2)$ tồn tại. 2. $\lim_{x \to 2} g(x)$ tồn tại. 3. $\lim_{x \to 2} g(x) = g(2)$. - $g(2) = \frac{2}{2 - 1} = 2$. - $\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{2}{x - 1} = \frac{2}{2 - 1} = 2$. Vì cả hai giới hạn đều tồn tại và bằng nhau, nên $g(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 2$. b) Giới hạn $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ 4,5 & \text{khi } x = 2 \end{array} \right.$ Ta cần tính giới hạn của $f(x)$ khi $x \to 2$. - $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Chúng ta có thể rút gọn phân thức: \[ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \quad \text{khi } x \neq 2 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \] Vậy $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. c) Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 2$ Để kiểm tra tính liên tục của $f(x)$ tại điểm $x_0 = 2$, chúng ta cần kiểm tra ba điều kiện: 1. $f(2)$ tồn tại. 2. $\lim_{x \to 2} f(x)$ tồn tại. 3. $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$. - $f(2) = 4,5$. - $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. Vì $\lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$, nên $f(x)$ không liên tục tại điểm $x_0 = 2$. d) Hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0 = 2$ Hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$. Để kiểm tra tính liên tục của $y$ tại điểm $x_0 = 2$, chúng ta cần kiểm tra ba điều kiện: 1. $y(2)$ tồn tại. 2. $\lim_{x \to 2} y(x)$ tồn tại. 3. $\lim_{x \to 2} y(x) = y(2)$. - $y(2) = \frac{f(2)}{g(2)} = \frac{4,5}{2} = 2,25$. - $\lim_{x \to 2} y(x) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to 2} f(x)}{\lim_{x \to 2} g(x)} = \frac{4}{2} = 2$. Vì $\lim_{x \to 2} y(x) \neq y(2)$, nên $y$ không liên tục tại điểm $x_0 = 2$. Kết luận - a) Đúng: $g(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 2$. - b) Đúng: $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. - c) Sai: $f(x)$ không liên tục tại điểm $x_0 = 2$. - d) Sai: $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ không liên tục tại điểm $x_0 = 2$. Câu 17. Câu a) Giải phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Bước 1: Xác định giá trị lượng giác cơ bản: \[ \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Ta biết rằng: \[ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Tìm các giá trị của $x + \frac{\pi}{3}$: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Bước 3: Giải ra $x$: \[ x = k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \] Câu b) Giải phương trình $\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Bước 1: Xác định giá trị lượng giác cơ bản: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng: \[ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 2: Tìm các giá trị của $x - \frac{\pi}{6}$: \[ x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \] Bước 3: Giải ra $x$: \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + k2\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{12} + k2\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{12} + k2\pi \] Câu 18. Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh là 44. 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng học sinh là 44 (số chẵn), trung vị nằm ở giữa hai giá trị thứ 22 và 23. 3. Xác định khoảng chứa trung vị: - Nhóm [145;150) có 7 học sinh. - Nhóm [150;155) có 10 học sinh, tổng là 7 + 10 = 17 học sinh. - Nhóm [155;160) có 14 học sinh, tổng là 17 + 14 = 31 học sinh. - Nhóm [160;165) có 10 học sinh, tổng là 31 + 10 = 41 học sinh. - Nhóm [165;170) có 3 học sinh, tổng là 41 + 3 = 44 học sinh. Như vậy, trung vị nằm trong nhóm [155;160). 4. Áp dụng công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: Công thức: \[ M = x_l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l-1}}{f_m} \right) \times d \] Trong đó: - \(x_l\) là giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị (ở đây là 155). - \(n\) là tổng số lượng học sinh (44). - \(F_{l-1}\) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa trung vị (ở đây là 17). - \(f_m\) là tần số của nhóm chứa trung vị (ở đây là 14). - \(d\) là khoảng cách của nhóm (ở đây là 5). Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 155 + \left( \frac{\frac{44}{2} - 17}{14} \right) \times 5 \] \[ M = 155 + \left( \frac{22 - 17}{14} \right) \times 5 \] \[ M = 155 + \left( \frac{5}{14} \right) \times 5 \] \[ M = 155 + \frac{25}{14} \] \[ M = 155 + 1.79 \] \[ M \approx 156.79 \] Vậy trung vị của chiều cao của 44 học sinh lớp 11A là khoảng 156.79 cm.