hhhhhhhhhh

Câu 1: Phương trình $\sin x = \sin \alpha$ có nghiệm là: \[ x = \alpha + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \alpha + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\left[\begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi\end{array}\right., k \in \mathbb{Z}.$ Câu 1: Để tìm dãy số có giới hạn bằng 0, ta sẽ tính giới hạn của mỗi dãy số đã cho khi \( n \to \infty \). A. \( u_n = \frac{1 - 2n^2}{5n + 3n^2} \) Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{1}{n^2} - 2}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{0 - 2}{0 + 3} = -\frac{2}{3} \] B. \( u_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3n^2} \) Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{2}{n}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{0 - 0}{0 + 3} = 0 \] C. \( u_n = \frac{n^2 - 2n}{5n + 3n^2} \) Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{1 - \frac{2}{n}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 - 0}{0 + 3} = \frac{1}{3} \] D. \( u_n = \frac{n^2 - 2}{5n + 3n^2} \) Ta chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{1 - \frac{2}{n^2}}{\frac{5}{n} + 3} \] Khi \( n \to \infty \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 - 0}{0 + 3} = \frac{1}{3} \] Như vậy, chỉ có dãy số B có giới hạn bằng 0. Đáp án đúng là: B. \( u_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3n^2} \). Câu 1: Để tính tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn với mỗi số hạng là một nửa của số hạng trước đó. Đây là một dãy số lũy thừa với công bội \( q = \frac{1}{2} \). Công thức tính tổng của một dãy số lũy thừa vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên và \( q \) là công bội của dãy số. Trong trường hợp này: - Số hạng đầu tiên \( a = 1 \) - Công bội \( q = \frac{1}{2} \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Vậy tổng của dãy số là \( S = 2 \). Đáp án đúng là: B. 2. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng giới hạn một cách chi tiết. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ Khi $x \to 1^-$, tức là $x$ tiến đến 1 từ phía bên trái (nhỏ hơn 1). Theo định nghĩa của hàm số, khi $x \leq 1$, ta có: \[ f(x) = 2x + 1 \] Do đó, \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3 \] b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ Khi $x \to 1^+$, tức là $x$ tiến đến 1 từ phía bên phải (lớn hơn 1). Theo định nghĩa của hàm số, khi $x > 1$, ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \] Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad \text{(với } x \neq 1) \] Do đó, \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \] c) $\lim_{x \to 1} f(x)$ Để hàm số có giới hạn khi $x \to 1$, thì giới hạn từ bên trái và bên phải phải bằng nhau: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \] Vì hai giới hạn này không bằng nhau, nên: \[ \lim_{x \to 1} f(x) \text{ không tồn tại} \] d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0 = 1$ Hàm số liên tục tại điểm $x_0 = 1$ nếu: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Tuy nhiên, ta đã chứng minh rằng $\lim_{x \to 1} f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số không liên tục tại điểm $x_0 = 1$. Kết luận: - Đáp án đúng là: c) $\lim_{x \to 1} f(x)$ không tồn tại. Câu 2. Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là AB. Gọi M là trung điểm của cạnh SB, N là giao điểm của cạnh SA và mặt phẳng (MCD). a) AB và SD cắt nhau. b) AB // (MCD). Lời giải: a) AB và SD cắt nhau. - Vì AB là đáy lớn của hình thang ABCD nên AB và CD song song với nhau. - SD là đường thẳng đi từ đỉnh S của hình chóp xuống đáy, không thể cắt AB vì AB và CD song song. Do đó, AB và SD không cắt nhau. b) AB // (MCD). - Vì AB // CD và CD nằm trong mặt phẳng (MCD), nên AB song song với mặt phẳng (MCD). Đáp án: a) AB và SD không cắt nhau. b) AB // (MCD). Câu 2: Cho $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^2+5x+1}{3x^2+4}=\frac ab~(\frac ab$ tối giản). Tính $a-2b.$ Lời giải: Ta có: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^2+5x+1}{3x^2+4} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{4}{x^2}} = \frac{2}{3} \] Suy ra $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$, suy ra $a = 2$, $b = 3$. Tính $a - 2b$: \[ a - 2b = 2 - 2 \times 3 = 2 - 6 = -4 \] Đáp án: $a - 2b = -4$ Câu 3: Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-4}{x-2}&khi~x\ne2\\4,5&khi~x=2\end{array}\right.$ tại điểm $x=2.$ Lời giải: Để xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = 2$, ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. $f(2)$ tồn tại. 2. $\lim_{x \to 2} f(x)$ tồn tại. 3. $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$. Ta có: \[ f(2) = 4,5 \] Tính $\lim_{x \to 2} f(x)$: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \] So sánh: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq f(2) = 4,5 \] Vậy hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x = 2$. Đáp án: Hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x = 2$. Câu 4: Tính số trung bình của mẫu số liệu trên. Lời giải: Ta tính số trung bình của mẫu số liệu bằng cách nhân mỗi giá trị trung tâm của khoảng với tần số tương ứng, cộng lại và chia cho tổng số lượng mẫu. Giá trị trung tâm của các khoảng: - [10; 15): 12,5 - [15; 20): 17,5 - [20; 25): 22,5 - [25; 30): 27,5 - [30; 35): 32,5 - [35; 40): 37,5 Tính tổng: \[ 12,5 \times 2 + 17,5 \times 5 + 22,5 \times 15 + 27,5 \times 8 + 32,5 \times 9 + 37,5 \times 1 = 25 + 87,5 + 337,5 + 220 + 292,5 + 37,5 = 990 \] Tổng số lượng mẫu là 40. Số trung bình: \[ \frac{990}{40} = 24,75 \] Đáp án: Số trung bình của mẫu số liệu là 24,75.