Giải các câu sau

Câu 3. Phương trình $\tan 2x = -1$ có nghiệm là: \[ 2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Chia cả hai vế cho 2 để tìm x: \[ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] So sánh với dạng tổng quát của nghiệm đã cho: \[ x = -\frac{a\pi}{b} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Ta thấy rằng: \[ -\frac{\pi}{8} = -\frac{a\pi}{b} \] Do đó: \[ \frac{1}{8} = \frac{a}{b} \] Vì $(a, b) = 1$, ta có: \[ a = 1 \quad \text{và} \quad b = 8 \] Giá trị của biểu thức $T = a^2 - b$ là: \[ T = 1^2 - 8 = 1 - 8 = -7 \] Đáp số: $T = -7$. Câu 4. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Do đó, đường chéo BD sẽ chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau, tức là tam giác ABD và tam giác CDB. M là trung điểm của SC, vậy ta có SM = MC. Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD). Ta sẽ chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng AM. Xét mặt phẳng (SAC) cắt mặt phẳng (SBD) theo đường thẳng SA. Vì M là trung điểm của SC nên đường thẳng AM sẽ cắt đường thẳng SD tại điểm N sao cho N là trung điểm của SD. Do đó, ta có: - Điểm N là trung điểm của SD. - Điểm M là trung điểm của SC. Vì vậy, đường thẳng AM sẽ cắt đường thẳng SD tại điểm N và cắt đường thẳng SB tại điểm I. Theo định lý Tales trong tam giác SAD, ta có: \[ \frac{AN}{ND} = \frac{AM}{MS} \] Vì M là trung điểm của SC, nên MS = SC/2. Do đó: \[ \frac{AM}{MS} = 2 \] Từ đây, ta suy ra: \[ \frac{AN}{ND} = 2 \] Vậy N là trung điểm của SD, và do đó I cũng là trung điểm của AM. Vậy tỷ số \(\frac{AI}{IM}\) là: \[ \frac{AI}{IM} = 1 \] Đáp số: \(\frac{AI}{IM} = 1\) Câu 5. Trước tiên, ta xác định vị trí của các trọng tâm $G_1$ và $G_2$. - Trọng tâm $G_1$ của tam giác BCD là điểm chia mỗi đường trung tuyến của tam giác BCD thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. - Trọng tâm $G_2$ của tam giác ACD là điểm chia mỗi đường trung tuyến của tam giác ACD thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Ta sẽ tìm tỉ số $\frac{G_1G_2}{AB}$. 1. Xác định tọa độ của các trọng tâm: - Gọi M là trung điểm của CD, N là trung điểm của BD. - Trọng tâm $G_1$ của tam giác BCD là điểm chia đoạn thẳng BM với tỉ số 2:1, tức là $G_1 = \frac{B + C + D}{3}$. - Trọng tâm $G_2$ của tam giác ACD là điểm chia đoạn thẳng AN với tỉ số 2:1, tức là $G_2 = \frac{A + C + D}{3}$. 2. Tính khoảng cách giữa hai trọng tâm $G_1$ và $G_2$: - Vector $G_1G_2 = G_2 - G_1 = \left(\frac{A + C + D}{3}\right) - \left(\frac{B + C + D}{3}\right) = \frac{A - B}{3}$. 3. Tính khoảng cách AB: - Vector AB = B - A. 4. Tỉ số $\frac{G_1G_2}{AB}$: - $\frac{G_1G_2}{AB} = \frac{\left|\frac{A - B}{3}\right|}{|B - A|} = \frac{|A - B| / 3}{|B - A|} = \frac{1}{3}$. Vậy tỉ số $\frac{G_1G_2}{AB}$ là $\frac{1}{3}$, làm tròn đến hàng phần trăm là 0.33. Đáp số: $\frac{G_1G_2}{AB} = 0.33$. Câu 6. Để tìm độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ 16, ta sẽ áp dụng công thức tính số hạng thứ n của dãy số cộng. Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên (a) và khoảng cách giữa các số hạng (d). - Số hạng đầu tiên (a) là độ cao của thửa ruộng thấp nhất: 950m. - Khoảng cách giữa các số hạng (d) là độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới: 1,4m. Bước 2: Áp dụng công thức tính số hạng thứ n của dãy số cộng. Số hạng thứ n (an) trong dãy số cộng được tính theo công thức: \[ a_n = a + (n - 1) \times d \] Trong đó: - \( a_n \) là số hạng thứ n. - \( a \) là số hạng đầu tiên. - \( n \) là vị trí của số hạng trong dãy. - \( d \) là khoảng cách giữa các số hạng. Áp dụng vào bài toán: - \( a = 950 \) - \( d = 1,4 \) - \( n = 16 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ a_{16} = 950 + (16 - 1) \times 1,4 \] \[ a_{16} = 950 + 15 \times 1,4 \] \[ a_{16} = 950 + 21 \] \[ a_{16} = 971 \] Vậy, thửa ruộng ở bậc thứ 16 có độ cao là 971m so với mực nước biển.