Giúp mình với ạ

Câu 27: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC, các cạnh AB, BC và CA đều có độ dài bằng nhau và bằng 2. Ta sẽ tính $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$ bằng cách sử dụng công thức tính độ dài hiệu của hai vectơ. Bước 1: Xác định các vectơ. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. Bước 2: Tính hiệu của hai vectơ. - $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ (vì hiệu của hai vectơ là vectơ từ điểm cuối của vectơ thứ hai đến điểm cuối của vectơ thứ nhất). Bước 3: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{CB}$. - Trong tam giác đều, độ dài của mỗi cạnh là 2, do đó $|\overrightarrow{CB}| = 2$. Vậy, $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = 2$. Đáp số: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = 2$. Câu 28: Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác ABC là tam giác đều, do đó mỗi góc trong tam giác đều bằng 60° và các cạnh đều bằng nhau, tức là AB = BC = CA = 3. Ta cần tính giá trị của $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 + 2 |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta)} \] Trong đó: - $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$ - $\theta$ là góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Vì tam giác ABC là tam giác đều, góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là 60°. Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + 2 |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos(60^\circ)} \] Biết rằng $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 3$ và $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{9 + 9 + 9} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{27} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 3\sqrt{3} \] Vậy giá trị của $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ là $3\sqrt{3}$. Câu 29: Trước tiên, ta xác định các vectơ trong hình vuông ABCD. - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. - Vectơ $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. Ta cần tính giá trị của $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}|$. Bước 1: Xác định các vectơ theo tọa độ. - Gọi A là gốc tọa độ (0, 0), B là (2, 0), C là (2, 2), D là (0, 2). Do đó: - $\overrightarrow{AB} = (2 - 0, 0 - 0) = (2, 0)$ - $\overrightarrow{AC} = (2 - 0, 2 - 0) = (2, 2)$ - $\overrightarrow{AD} = (0 - 0, 2 - 0) = (0, 2)$ Bước 2: Cộng các vectơ. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (2, 0) + (2, 2) + (0, 2) \] \[ = (2 + 2 + 0, 0 + 2 + 2) = (4, 4) \] Bước 3: Tính độ dài của vectơ kết quả. \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}| = |(4, 4)| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Vậy giá trị của $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}|$ là $4\sqrt{2}$. Câu 30: Để tính cường độ tổng hợp của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$, ta sử dụng công thức tính tổng hợp của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos(\theta)} \] Trong đó: - $|\overrightarrow{F_1}| = 60 \text{ N}$ - $|\overrightarrow{F_2}| = 90 \text{ N}$ - Góc giữa hai lực $\theta = 45^\circ$ Bước 1: Tính bình phương của các lực: \[ |\overrightarrow{F_1}|^2 = 60^2 = 3600 \text{ N}^2 \] \[ |\overrightarrow{F_2}|^2 = 90^2 = 8100 \text{ N}^2 \] Bước 2: Tính tích của hai lực và cosin của góc giữa chúng: \[ 2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos(45^\circ) = 2 \times 60 \times 90 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5400 \sqrt{2} \text{ N}^2 \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{3600 + 8100 + 5400 \sqrt{2}} \] Bước 4: Tính tổng các giá trị trong căn bậc hai: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{11700 + 5400 \sqrt{2}} \] Bước 5: Tính giá trị cuối cùng: \[ |\overrightarrow{F}| \approx \sqrt{11700 + 7638.34} \approx \sqrt{19338.34} \approx 139.06 \text{ N} \] Vậy cường độ tổng hợp của hai lực là khoảng 139.06 N. Đáp số: 139.06 N Câu 31: Để tính $\overrightarrow a.\overrightarrow b$, ta sử dụng công thức скалярного произведения двух векторов: \[ \overrightarrow a.\overrightarrow b = |\overrightarrow a| \cdot |\overrightarrow b| \cdot \cos(\overrightarrow a; \overrightarrow b) \] Trong đó: - $|\overrightarrow a|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow a$. - $|\overrightarrow b|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow b$. - $(\overrightarrow a; \overrightarrow b)$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$. Theo đề bài, ta có: - $|\overrightarrow a| = 3$ - $|\overrightarrow b| = 4$ - $(\overrightarrow a; \overrightarrow b) = 30^\circ$ Bây giờ, ta thay các giá trị này vào công thức: \[ \overrightarrow a.\overrightarrow b = 3 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ) \] Biết rằng $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta có: \[ \overrightarrow a.\overrightarrow b = 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \] Vậy, $\overrightarrow a.\overrightarrow b = 6\sqrt{3}$. Câu 32: Để tìm cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$, ta cần sử dụng quy tắc hình học của vectơ. Vì vật đứng yên, tổng các lực tác động lên vật phải bằng không, tức là: \[ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0} \] Do đó: \[ \overrightarrow{F_3} = -(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}) \] Ta sẽ tính vectơ tổng $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}$ trước. 1. Tính độ dài của vectơ tổng $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}$: Áp dụng công thức tính độ dài vectơ tổng trong trường hợp hai vectơ tạo với nhau một góc: \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2 |\overrightarrow{F_1}| |\overrightarrow{F_2}| \cos(\theta)} \] Trong đó: - $|\overrightarrow{F_1}| = 120$ N - $|\overrightarrow{F_2}| = 120$ N - $\theta = 120^\circ$ Thay các giá trị vào công thức: \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{120^2 + 120^2 + 2 \cdot 120 \cdot 120 \cdot \cos(120^\circ)} \] Biết rằng $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$: \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{120^2 + 120^2 + 2 \cdot 120 \cdot 120 \cdot (-\frac{1}{2})} \] \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{120^2 + 120^2 - 120^2} \] \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = \sqrt{120^2} \] \[ |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = 120 \text{ N} \] 2. Tính cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$: Vì $\overrightarrow{F_3} = -(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2})$, nên độ dài của $\overrightarrow{F_3}$ sẽ bằng độ dài của $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}$: \[ |\overrightarrow{F_3}| = |\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}| = 120 \text{ N} \] Vậy cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$ là 120 N. Câu 1 Để quy tròn số 2,654 đến hàng phần chục, ta làm như sau: - Số 2,654 có chữ số hàng phần chục là 6 và chữ số tiếp theo (hàng phần trăm) là 5. - Vì 5 >= 5 nên ta làm tròn lên, tức là tăng 1 đơn vị ở hàng phần chục. Do đó, 2,654 được làm tròn lên thành 2,7. Sai số tuyệt đối là: \[ |2,7 - 2,654| = 0,046 \] Vậy đáp án đúng là: C. 0,046. Câu 2 Để tính số trung bình của mẫu số liệu thống kê, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng của tất cả các số trong mẫu số liệu. Tổng = 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 60 Bước 2: Đếm số lượng các số trong mẫu số liệu. Số lượng các số = 5 Bước 3: Tính số trung bình bằng cách chia tổng cho số lượng các số. Số trung bình = Tổng : Số lượng các số = $\frac{60}{5}$ = 12 Vậy số trung bình của mẫu số liệu trên là 12. Đáp án đúng là: A. 12 Câu 3: Để tìm số gần đúng của \( a = 5,2463 \) với độ chính xác \( d = 0,001 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng cách giữa các giá trị liên tiếp: - Độ chính xác \( d = 0,001 \) có nghĩa là ta sẽ làm tròn số \( a \) đến hàng phần nghìn. 2. So sánh chữ số ở hàng phần nghìn và hàng phần chục nghìn: - Chữ số ở hàng phần nghìn là 6. - Chữ số ở hàng phần chục nghìn là 3. 3. Áp dụng quy tắc làm tròn: - Nếu chữ số ở hàng phần chục nghìn (3) nhỏ hơn 5, ta làm tròn xuống. - Nếu chữ số ở hàng phần chục nghìn (3) lớn hơn hoặc bằng 5, ta làm tròn lên. Trong trường hợp này, chữ số ở hàng phần chục nghìn là 3, nhỏ hơn 5, nên ta làm tròn xuống. 4. Kết quả: - Làm tròn số \( 5,2463 \) đến hàng phần nghìn, ta được \( 5,246 \). Vậy số gần đúng của \( a = 5,2463 \) với độ chính xác \( d = 0,001 \) là \( 5,246 \). Đáp án đúng là: C. 5,246. Câu 4: Để tìm mốt của mẫu số liệu, ta cần xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy số. Dãy số thời gian dùng Facebook của nhóm 10 học sinh là: \[0; 0; 0; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3\] Bây giờ, ta đếm số lần xuất hiện của mỗi giá trị: - Giá trị 0 xuất hiện 3 lần. - Giá trị 1 xuất hiện 2 lần. - Giá trị 2 xuất hiện 4 lần. - Giá trị 3 xuất hiện 1 lần. Trong các giá trị này, giá trị 2 xuất hiện nhiều nhất (4 lần). Do đó, mốt của mẫu số liệu này là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 5: Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần: \[ 76, 78, 83, 85, 86, 89, 95, 95, 96, 98, 98, 110 \] 2. Tìm số trung vị (Q2): - Số lượng dữ liệu là 12, chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số ở giữa. - Hai số ở giữa là 89 và 95. - Vậy trung vị Q2 là: \[ Q2 = \frac{89 + 95}{2} = 92 \] 3. Chia dãy số thành hai nửa: - Nửa đầu: 76, 78, 83, 85, 86, 89 - Nửa sau: 95, 95, 96, 98, 98, 110 4. Tìm trung vị của nửa đầu (Q1): - Số lượng dữ liệu trong nửa đầu là 6, chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số ở giữa. - Hai số ở giữa là 83 và 85. - Vậy trung vị Q1 là: \[ Q1 = \frac{83 + 85}{2} = 84 \] 5. Tìm trung vị của nửa sau (Q3): - Số lượng dữ liệu trong nửa sau là 6, chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số ở giữa. - Hai số ở giữa là 95 và 96. - Vậy trung vị Q3 là: \[ Q3 = \frac{95 + 96}{2} = 95.5 \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, Q3 gần đúng nhất là 97. Do đó, ta chọn đáp án gần đúng nhất từ các lựa chọn đã cho. Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là: \[ Q1 = 84, Q2 = 92, Q3 = 97 \] Đáp án đúng là: A. \( Q1 = 84; Q2 = 92; Q3 = 97 \). Câu 6: Để tính phương sai của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính bằng cách lấy tổng của tất cả các giá trị trong mẫu chia cho số lượng giá trị trong mẫu. \[ \bar{x} = \frac{9 + 12 + 10 + 17 + 19 + 18 + 13 + 15 + 14 + 16}{10} \] \[ \bar{x} = \frac{143}{10} = 14,3 \] Bước 2: Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng. Ta tính \( (x_i - \bar{x})^2 \) cho mỗi giá trị \( x_i \). \[ (9 - 14,3)^2 = (-5,3)^2 = 28,09 \] \[ (12 - 14,3)^2 = (-2,3)^2 = 5,29 \] \[ (10 - 14,3)^2 = (-4,3)^2 = 18,49 \] \[ (17 - 14,3)^2 = 2,7^2 = 7,29 \] \[ (19 - 14,3)^2 = 4,7^2 = 22,09 \] \[ (18 - 14,3)^2 = 3,7^2 = 13,69 \] \[ (13 - 14,3)^2 = (-1,3)^2 = 1,69 \] \[ (15 - 14,3)^2 = 0,7^2 = 0,49 \] \[ (14 - 14,3)^2 = (-0,3)^2 = 0,09 \] \[ (16 - 14,3)^2 = 1,7^2 = 2,89 \] Bước 3: Tính tổng của các bình phương hiệu vừa tìm được. \[ 28,09 + 5,29 + 18,49 + 7,29 + 22,09 + 13,69 + 1,69 + 0,49 + 0,09 + 2,89 = 100,1 \] Bước 4: Tính phương sai bằng cách chia tổng bình phương hiệu cho số lượng giá trị trong mẫu. \[ s^2 = \frac{100,1}{10} = 10,01 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu trên là 10,01. Do đó, đáp án đúng là: D. 10,01. Câu 7: Để tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 2; 5; 5; 6; 10; 12; 15; 17; 23 2. Xác định các giá trị Q1 (quartile 1) và Q3 (quartile 3): - Số lượng dữ liệu là 9, do đó: - Q1 nằm ở vị trí $\frac{9 + 1}{4} = 2.5$, tức là giữa giá trị thứ 2 và thứ 3. - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3(9 + 1)}{4} = 7.5$, tức là giữa giá trị thứ 7 và thứ 8. 3. Tìm giá trị của Q1 và Q3: - Q1 = $\frac{5 + 5}{2} = 5$ - Q3 = $\frac{15 + 17}{2} = 16$ 4. Tính khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 16 - 5 = 11 Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 11. Đáp án đúng là: D. 11 Câu 8: Phương sai của một mẫu số liệu \(x_1, x_2, ..., x_N\) với số trung bình là \(\overline{x}\) được tính theo công thức sau: \[ s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 \] Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước để hiểu rõ hơn về công thức này: 1. Tính số trung bình (\(\overline{x}\)): Số trung bình của mẫu số liệu được tính bằng cách cộng tất cả các giá trị \(x_i\) lại và chia cho tổng số giá trị \(N\): \[ \overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \] 2. Tính hiệu giữa mỗi giá trị và số trung bình: Ta tính hiệu giữa mỗi giá trị \(x_i\) và số trung bình \(\overline{x}\): \[ x_i - \overline{x} \] 3. Tính bình phương của các hiệu này: Ta bình phương các hiệu vừa tính ở bước 2: \[ (x_i - \overline{x})^2 \] 4. Tính tổng của các bình phương này: Ta cộng tất cả các bình phương vừa tính ở bước 3: \[ \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 \] 5. Chia tổng này cho số lượng giá trị: Cuối cùng, ta chia tổng vừa tính ở bước 4 cho số lượng giá trị \(N\): \[ s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu \(x_1, x_2, ..., x_N\) là: \[ s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 \]