Cho tôi đáp án câu 2

Câu 2: Để xác định dấu của các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) của hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) dựa vào đồ thị, chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp như sau: 1. Đồ thị cắt trục \(Oy\) ở điểm \((0, c)\): - Nếu đồ thị cắt trục \(Oy\) ở phía dương (\(c > 0\)), thì \(c\) là số dương. - Nếu đồ thị cắt trục \(Oy\) ở phía âm (\(c < 0\)), thì \(c\) là số âm. 2. Đồ thị có đỉnh nằm ở phía trên trục \(Ox\) hoặc dưới trục \(Ox\): - Nếu đồ thị có đỉnh nằm ở phía trên trục \(Ox\) và mở rộng xuống dưới, thì \(a < 0\). - Nếu đồ thị có đỉnh nằm ở phía dưới trục \(Ox\) và mở rộng lên trên, thì \(a > 0\). 3. Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt: - Nếu đồ thị cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt, thì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt. Điều này có nghĩa là \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\). 4. Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại một điểm duy nhất: - Nếu đồ thị cắt trục \(Ox\) tại một điểm duy nhất, thì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm kép. Điều này có nghĩa là \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\). 5. Đồ thị không cắt trục \(Ox\): - Nếu đồ thị không cắt trục \(Ox\), thì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\). 6. Đồ thị có trục đối xứng: - Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = -\frac{b}{2a}\). Nếu trục đối xứng nằm ở phía trái trục \(Oy\) (\(-\frac{b}{2a} < 0\)), thì \(b\) và \(a\) có cùng dấu. Nếu trục đối xứng nằm ở phía phải trục \(Oy\) (\(-\frac{b}{2a} > 0\)), thì \(b\) và \(a\) có dấu ngược nhau. Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc này để xác định dấu của \(a\), \(b\), và \(c\) trong từng trường hợp: Trường hợp 1: - Đồ thị cắt trục \(Oy\) ở điểm \((0, c)\) với \(c > 0\). - Đỉnh của đồ thị nằm ở phía trên trục \(Ox\) và mở rộng xuống dưới, do đó \(a < 0\). - Trục đối xứng nằm ở phía trái trục \(Oy\), do đó \(b\) và \(a\) có cùng dấu, tức là \(b < 0\). Kết luận: \(a < 0\), \(b < 0\), \(c > 0\). Trường hợp 2: - Đồ thị cắt trục \(Oy\) ở điểm \((0, c)\) với \(c > 0\). - Đỉnh của đồ thị nằm ở phía dưới trục \(Ox\) và mở rộng lên trên, do đó \(a > 0\). - Trục đối xứng nằm ở phía phải trục \(Oy\), do đó \(b\) và \(a\) có dấu ngược nhau, tức là \(b < 0\). Kết luận: \(a > 0\), \(b < 0\), \(c > 0\). Trường hợp 3: - Đồ thị cắt trục \(Oy\) ở điểm \((0, c)\) với \(c < 0\). - Đỉnh của đồ thị nằm ở phía trên trục \(Ox\) và mở rộng xuống dưới, do đó \(a < 0\). - Trục đối xứng nằm ở phía phải trục \(Oy\), do đó \(b\) và \(a\) có dấu ngược nhau, tức là \(b > 0\). Kết luận: \(a < 0\), \(b > 0\), \(c < 0\). Trường hợp 4: - Đồ thị cắt trục \(Oy\) ở điểm \((0, c)\) với \(c < 0\). - Đỉnh của đồ thị nằm ở phía dưới trục \(Ox\) và mở rộng lên trên, do đó \(a > 0\). - Trục đối xứng nằm ở phía trái trục \(Oy\), do đó \(b\) và \(a\) có cùng dấu, tức là \(b > 0\). Kết luận: \(a > 0\), \(b > 0\), \(c < 0\). Trường hợp 5: - Đồ thị cắt trục \(Oy\) ở điểm \((0, c)\) với \(c > 0\). - Đỉnh của đồ thị nằm ở phía trên trục \(Ox\) và mở rộng xuống dưới, do đó \(a < 0\). - Trục đối xứng nằm ở phía phải trục \(Oy\), do đó \(b\) và \(a\) có dấu ngược nhau, tức là \(b > 0\). Kết luận: \(a < 0\), \(b > 0\), \(c > 0\). Trường hợp 6: - Đồ thị cắt trục \(Oy\) ở điểm \((0, c)\) với \(c < 0\). - Đỉnh của đồ thị nằm ở phía dưới trục \(Ox\) và mở rộng lên trên, do đó \(a > 0\). - Trục đối xứng nằm ở phía trái trục \(Oy\), do đó \(b\) và \(a\) có cùng dấu, tức là \(b < 0\). Kết luận: \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\). Đáp số: 1. \(a < 0\), \(b < 0\), \(c > 0\) 2. \(a > 0\), \(b < 0\), \(c > 0\) 3. \(a < 0\), \(b > 0\), \(c < 0\) 4. \(a > 0\), \(b > 0\), \(c < 0\) 5. \(a < 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) 6. \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\) Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá bán \( x \) đôla sao cho lợi nhuận thu được là lớn nhất. Bước 1: Xác định doanh thu và chi phí. - Chi phí để nhập một đôi giày là 40 đôla. - Số lượng giày bán được mỗi tháng là \( 120 - x \) đôi. - Doanh thu từ việc bán giày là \( x \times (120 - x) \) đôla. - Chi phí để nhập số lượng giày đó là \( 40 \times (120 - x) \) đôla. Bước 2: Xác định lợi nhuận. Lợi nhuận \( P \) từ việc bán giày mỗi tháng là: \[ P = x \times (120 - x) - 40 \times (120 - x) \] \[ P = (x - 40) \times (120 - x) \] Bước 3: Tìm giá trị của \( x \) để lợi nhuận lớn nhất. Để tìm giá trị của \( x \) làm cho lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm đỉnh của parabol \( P = (x - 40)(120 - x) \). Ta viết lại biểu thức lợi nhuận dưới dạng: \[ P = -(x^2 - 160x + 4800) \] \[ P = -x^2 + 160x - 4800 \] Biểu thức này là một parabol mở xuống, đỉnh của nó sẽ cho giá trị lớn nhất của \( P \). Đỉnh của parabol \( ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong trường hợp này, \( a = -1 \) và \( b = 160 \): \[ x = -\frac{160}{2 \times (-1)} = 80 \] Vậy giá bán mỗi đôi giày là 80 đôla sẽ cho lợi nhuận lớn nhất. Đáp số: 80 đôla. Câu 4: Giả sử cửa hàng giảm giá bán mỗi quả bưởi là \( x \times 1000 \) đồng, với \( x \) là số tự nhiên. Khi đó, giá bán mới của mỗi quả bưởi sẽ là: \[ 50000 - x \times 1000 \] Số quả bưởi bán được mỗi ngày sẽ là: \[ 40 + x \times 10 \] Lợi nhuận thu được từ việc bán mỗi quả bưởi là: \[ (50000 - x \times 1000) - 30000 = 20000 - x \times 1000 \] Tổng lợi nhuận của cửa hàng mỗi ngày là: \[ (20000 - x \times 1000) \times (40 + x \times 10) \] Ta có biểu thức tổng lợi nhuận: \[ N(x) = (20000 - 1000x)(40 + 10x) \] \[ N(x) = 20000 \times 40 + 20000 \times 10x - 1000x \times 40 - 1000x \times 10x \] \[ N(x) = 800000 + 200000x - 40000x - 10000x^2 \] \[ N(x) = 800000 + 160000x - 10000x^2 \] Để tìm giá trị của \( x \) sao cho tổng lợi nhuận \( N(x) \) đạt giá trị lớn nhất, ta sử dụng phương pháp tìm cực đại của hàm bậc hai. Hàm số \( N(x) = -10000x^2 + 160000x + 800000 \) là hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \), trong đó \( a = -10000 \), \( b = 160000 \), và \( c = 800000 \). Đỉnh của parabol (điểm cực đại) xảy ra tại: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{160000}{2 \times (-10000)} = \frac{160000}{20000} = 8 \] Vậy, giá trị của \( x \) để tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất là \( x = 8 \). Giá bán mới của mỗi quả bưởi khi đó là: \[ 50000 - 8 \times 1000 = 50000 - 8000 = 42000 \text{ đồng} \] Vậy, giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất là 42000 đồng mỗi quả bưởi. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình của quỹ đạo là $y = \frac{-3}{1000}x^2 + x$. Bước 2: Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay - Độ cao cực đại của vật tương ứng với giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{-3}{1000}x^2 + x$. - Ta sử dụng công thức tìm giá trị lớn nhất của hàm bậc hai $y = ax^2 + bx + c$, với $a < 0$: \[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \] - Ở đây, $a = \frac{-3}{1000}$ và $b = 1$. Do đó: \[ x_{\text{max}} = -\frac{1}{2 \cdot \left(\frac{-3}{1000}\right)} = \frac{1}{\frac{6}{1000}} = \frac{1000}{6} = \frac{500}{3} \approx 166.67 \text{ mét} \] - Thay $x_{\text{max}}$ vào phương trình để tìm giá trị lớn nhất của $y$: \[ y_{\text{max}} = \frac{-3}{1000} \left(\frac{500}{3}\right)^2 + \frac{500}{3} \] \[ y_{\text{max}} = \frac{-3}{1000} \cdot \frac{250000}{9} + \frac{500}{3} \] \[ y_{\text{max}} = \frac{-750000}{9000} + \frac{500}{3} \] \[ y_{\text{max}} = \frac{-750}{9} + \frac{500}{3} \] \[ y_{\text{max}} = \frac{-750}{9} + \frac{1500}{9} \] \[ y_{\text{max}} = \frac{750}{9} \approx 83.33 \text{ mét} \] Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O - Khi vật chạm đất, $y = 0$. Ta giải phương trình: \[ 0 = \frac{-3}{1000}x^2 + x \] \[ 0 = x \left(\frac{-3}{1000}x + 1\right) \] - Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 0 \] \[ \frac{-3}{1000}x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1000}{3} \approx 333.33 \text{ mét} \] - Khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O là: \[ x = \frac{1000}{3} \approx 333.33 \text{ mét} \] Kết luận - Độ cao cực đại của vật trong quá trình bay là khoảng 83.33 mét, đạt được khi $x = \frac{500}{3} \approx 166.67$ mét. - Khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O là khoảng 333.33 mét. Đáp số: a. Độ cao cực đại của vật: 83.33 mét. b. Khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O: 333.33 mét. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình của parabol và tìm điểm cực đại của nó. 1. Xác định hệ tọa độ: - Lấy trục Ox nằm ngang, đi qua giữa hai chân cổng. - Lấy trục Oy đứng thẳng đứng, đi qua đỉnh của cổng. 2. Xác định các điểm trên parabol: - Điểm A và B là hai chân cổng, cách nhau 162m. Vậy tọa độ của A là (-81, 0) và B là (81, 0). - Điểm M có tọa độ là (10, 43). 3. Lập phương trình parabol: - Parabol có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). - Vì trục đối xứng của parabol đi qua gốc tọa độ, nên \( b = 0 \). Phương trình trở thành \( y = ax^2 + c \). 4. Áp dụng điều kiện: - Điểm A(-81, 0) thuộc parabol: \( 0 = a(-81)^2 + c \Rightarrow 0 = 6561a + c \Rightarrow c = -6561a \). - Điểm M(10, 43) thuộc parabol: \( 43 = a(10)^2 + c \Rightarrow 43 = 100a + c \). 5. Thay \( c = -6561a \) vào phương trình của điểm M: \[ 43 = 100a - 6561a \Rightarrow 43 = -6461a \Rightarrow a = -\frac{43}{6461} \] \[ c = -6561 \left( -\frac{43}{6461} \right) = \frac{6561 \times 43}{6461} = 43 \] 6. Phương trình của parabol: \[ y = -\frac{43}{6461}x^2 + 43 \] 7. Tìm điểm cực đại của parabol: - Đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ y' = -\frac{86}{6461}x \] - Đặt \( y' = 0 \): \[ -\frac{86}{6461}x = 0 \Rightarrow x = 0 \] - Thay \( x = 0 \) vào phương trình parabol: \[ y = -\frac{43}{6461}(0)^2 + 43 = 43 \] Vậy độ cao của cổng Arch là 43m. Đáp số: Độ cao của cổng Arch là 43m.