bzjahshsshsj

Câu 2: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Xác định khoảng đồng biến của hàm số Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \] Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \left(\frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}\right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + 3x + 3)'(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \] Để xác định khoảng đồng biến, ta cần tìm các khoảng mà \( y' > 0 \): \[ \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} > 0 \] Phân tích dấu của biểu thức: - \( (x + 1) > 0 \) khi \( x > -1 \) - \( (x + 3) > 0 \) khi \( x > -3 \) - \( (x + 2)^2 > 0 \) khi \( x \neq -2 \) Từ đó, ta có: - \( y' > 0 \) khi \( x < -3 \) hoặc \( x > -1 \) Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (-1, +\infty) \). b) Tìm tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số Để tìm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] \[ x = -1 \text{ hoặc } x = -3 \] Ta kiểm tra dấu của \( y' \) ở các khoảng: - \( y' < 0 \) khi \( -3 < x < -2 \) - \( y' > 0 \) khi \( -2 < x < -1 \) Do đó: - \( x = -3 \) là điểm cực đại - \( x = -1 \) là điểm cực tiểu Giá trị cực đại: \[ y(-3) = \frac{(-3)^2 + 3(-3) + 3}{-3 + 2} = \frac{9 - 9 + 3}{-1} = -3 \] Giá trị cực tiểu: \[ y(-1) = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 3}{-1 + 2} = \frac{1 - 3 + 3}{1} = 1 \] Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: \[ -3 + 1 = -2 \] c) Xác định đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Đường tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \) được xác định bằng phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} = x + 1 + \frac{1}{x + 2} \] Khi \( x \to \pm \infty \), \( \frac{1}{x + 2} \to 0 \), nên đường tiệm cận xiên là: \[ y = x + 1 \] Đường tiệm cận xiên đi qua điểm \( A(0, 1) \), không phải \( A(0, 2) \). d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng \( y = -3x - 11 \) Đường thẳng \( y = -3x - 11 \) có hệ số góc là \( -3 \). Tiếp tuyến song song với nó cũng có hệ số góc là \( -3 \). Ta cần tìm điểm \( B(1, -6) \) trên đồ thị hàm số: \[ y(1) = \frac{1^2 + 3 \cdot 1 + 3}{1 + 2} = \frac{1 + 3 + 3}{3} = \frac{7}{3} \] Điểm \( B(1, -6) \) không nằm trên đồ thị hàm số, do đó không có tiếp tuyến nào đi qua điểm này. Kết luận a) Đúng. b) Sai, tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là -2. c) Sai, đường tiệm cận xiên đi qua điểm \( A(0, 1) \). d) Sai, không có tiếp tuyến nào đi qua điểm \( B(1, -6) \). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra khoảng cách từ các điểm M, N, P đến điểm I và so sánh với bán kính 5 km (5000 m). a) Kiểm tra khoảng cách từ M(1, 2, 0) đến I(1, -2, 3): \[ d(M, I) = \sqrt{(1-1)^2 + (2+2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ km} \] Vậy bạn Minh Hiển có thể sử dụng điện thoại tại nhà. b) Kiểm tra khoảng cách từ N(-3, 1, 0) đến I(1, -2, 3): \[ d(N, I) = \sqrt{(-3-1)^2 + (1+2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \text{ km} \] Vậy bạn Nhật Hoàng không thể sử dụng điện thoại tại nhà. c) Kiểm tra khoảng cách từ P(2, -2, 0) đến I(1, -2, 3): \[ d(P, I) = \sqrt{(2-1)^2 + (-2+2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16 \text{ km} \] Vậy bạn Phương Linh có thể sử dụng điện thoại tại nhà. d) Gọi Q là điểm nằm trên đoạn thẳng từ M đến N sao cho khoảng cách từ Q đến I không quá 5 km. Ta cần tìm độ dài lớn nhất của MQ. Đầu tiên, ta viết phương trình đường thẳng MN: \[ \vec{MN} = (-3-1, 1-2, 0-0) = (-4, -1, 0) \] Phương trình tham số của đường thẳng MN: \[ x = 1 - 4t, \quad y = 2 - t, \quad z = 0 \] Gọi Q có tọa độ $(1 - 4t, 2 - t, 0)$. Ta cần khoảng cách từ Q đến I không quá 5 km: \[ d(Q, I) = \sqrt{(1 - 4t - 1)^2 + (2 - t + 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{16t^2 + (4 - t)^2 + 9} \leq 5 \] \[ \sqrt{16t^2 + 16 - 8t + t^2 + 9} \leq 5 \] \[ \sqrt{17t^2 - 8t + 25} \leq 5 \] \[ 17t^2 - 8t + 25 \leq 25 \] \[ 17t^2 - 8t \leq 0 \] \[ t(17t - 8) \leq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{8}{17} \] Do đó, $0 \leq t \leq \frac{8}{17}$. Độ dài lớn nhất của MQ khi $t = \frac{8}{17}$: \[ MQ = \sqrt{(1 - 4 \cdot \frac{8}{17} - 1)^2 + (2 - \frac{8}{17} - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{-32}{17}\right)^2 + \left(\frac{-8}{17}\right)^2} = \sqrt{\frac{1024}{289} + \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{1088}{289}} = \frac{8\sqrt{17}}{17} \] Đáp số: a) Có b) Không c) Có d) $\frac{8\sqrt{17}}{17}$ Câu 1 Để tính khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng mẫu: Tổng số phụ nữ trong khảo sát là: \[ 13 + 22 + 41 + 18 + 6 = 100 \] 2. Xác định các phân vị: - Phân vị thứ nhất (Q1): Đây là giá trị chia dãy dữ liệu thành 25% đầu tiên. - Phân vị thứ ba (Q3): Đây là giá trị chia dãy dữ liệu thành 75% đầu tiên. 3. Tìm Q1 và Q3: - Q1: \[ \text{Vị trí của Q1} = \frac{100 + 1}{4} = 25.25 \] Do đó, Q1 nằm trong khoảng [20; 24). Để tính chính xác hơn, ta sử dụng công thức: \[ Q1 = 20 + \left( \frac{25.25 - 13}{22} \right) \times 4 = 20 + \left( \frac{12.25}{22} \right) \times 4 \approx 20 + 2.23 = 22.23 \] - Q3: \[ \text{Vị trí của Q3} = \frac{3 \times (100 + 1)}{4} = 75.75 \] Do đó, Q3 nằm trong khoảng [28; 32). Để tính chính xác hơn, ta sử dụng công thức: \[ Q3 = 28 + \left( \frac{75.75 - 86}{18} \right) \times 4 = 28 + \left( \frac{-10.25}{18} \right) \times 4 \approx 28 - 2.28 = 25.72 \] 4. Tính khoảng tử phân vị (IQR): \[ IQR = Q3 - Q1 = 25.72 - 22.23 = 3.49 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười, khoảng tử phân vị của mẫu số liệu này là 3.5. Đáp số: 3.5 Câu 2: Để tính chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí \( M(x) \), ta cần tính tổng chi phí \( T(x) \) bao gồm cả chi phí xuất bản và chi phí phát hành, sau đó chia cho số lượng cuốn tạp chí \( x \). Chi phí xuất bản cho \( x \) cuốn tạp chí là: \[ C(x) = 4x^2 - 1300x + 10^9 \] Chi phí phát hành cho mỗi cuốn tạp chí là 6 nghìn đồng, do đó chi phí phát hành cho \( x \) cuốn tạp chí là: \[ 6000x \] Tổng chi phí \( T(x) \) là: \[ T(x) = C(x) + 6000x = 4x^2 - 1300x + 10^9 + 6000x = 4x^2 + 4700x + 10^9 \] Chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí \( M(x) \) là: \[ M(x) = \frac{T(x)}{x} = \frac{4x^2 + 4700x + 10^9}{x} = 4x + 4700 + \frac{10^9}{x} \] Khi số lượng cuốn tạp chí phát hành cực lớn (\( x \to \infty \)), chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí \( M(x) \) sẽ tiệm cận với đường thẳng có phương trình dạng \( y = ax + b \). Ta thấy rằng: \[ M(x) \approx 4x + 4700 \] Do đó, \( a = 4 \) và \( b = 4700 \). Giá trị của \( P \) là: \[ P = 10a + 3b = 10 \times 4 + 3 \times 4700 = 40 + 14100 = 14140 \] Đáp số: \( P = 14140 \) Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán chi phí sản xuất sao cho tổng chi phí là thấp nhất. Chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định thời gian sản xuất: - Mỗi máy sản xuất được 60 quả bóng trong một giờ. - Tổng số bóng cần sản xuất là 16000 quả. - Nếu công ty sử dụng \( n \) máy, thì thời gian để sản xuất đủ 16000 quả bóng là: \[ t = \frac{16000}{60n} = \frac{800}{3n} \text{ (giờ)} \] 2. Tính chi phí thiết lập máy móc: - Chi phí thiết lập mỗi máy là 300 nghìn đồng. - Nếu công ty sử dụng \( n \) máy, thì chi phí thiết lập là: \[ C_{\text{thiết lập}} = 300n \text{ (nghìn đồng)} \] 3. Tính chi phí giám sát: - Chi phí giám sát là 252 nghìn đồng/giờ. - Thời gian giám sát là \( t = \frac{800}{3n} \) giờ. - Chi phí giám sát là: \[ C_{\text{giám sát}} = 252 \times \frac{800}{3n} = \frac{201600}{n} \text{ (nghìn đồng)} \] 4. Tổng chi phí sản xuất: - Tổng chi phí \( C \) là tổng của chi phí thiết lập và chi phí giám sát: \[ C = 300n + \frac{201600}{n} \] 5. Tìm giá trị \( n \) để chi phí \( C \) là nhỏ nhất: - Ta cần tìm giá trị \( n \) sao cho \( C \) là nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ tính đạo hàm của \( C \) theo \( n \) và tìm điểm cực tiểu. - Đạo hàm của \( C \): \[ C' = 300 - \frac{201600}{n^2} \] - Đặt \( C' = 0 \): \[ 300 - \frac{201600}{n^2} = 0 \] \[ 300 = \frac{201600}{n^2} \] \[ n^2 = \frac{201600}{300} = 672 \] \[ n = \sqrt{672} \approx 25.92 \] 6. Lựa chọn giá trị \( n \) gần đúng: - Vì \( n \) phải là số nguyên, ta sẽ kiểm tra các giá trị gần \( 25.92 \), cụ thể là \( n = 25 \) và \( n = 26 \). - Kiểm tra \( n = 25 \): \[ C(25) = 300 \times 25 + \frac{201600}{25} = 7500 + 8064 = 15564 \text{ (nghìn đồng)} \] - Kiểm tra \( n = 26 \): \[ C(26) = 300 \times 26 + \frac{201600}{26} = 7800 + 7753.85 = 15553.85 \text{ (nghìn đồng)} \] - So sánh hai giá trị trên, ta thấy \( C(26) < C(25) \). Vậy, để chi phí sản xuất thấp nhất, công ty nên sử dụng 26 máy. Đáp số: 26 máy Câu 1: Phương trình $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ có dạng chuẩn là $\cos x = \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)$. Bước 1: Xác định các giá trị cơ bản của $x$ sao cho $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Các giá trị cơ bản của $x$ là: \[ x = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{và} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \] Bước 2: Viết nghiệm tổng quát của phương trình. Nghiệm tổng quát của phương trình là: \[ x = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \] Trong đó, $k$ là số nguyên. Vậy nghiệm của phương trình $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ là: \[ x = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \] Trong đó, $k$ là số nguyên.