giải bài tập

a) Trọng tâm của tam giác ABC là I(2;1;1). Để kiểm tra, ta tính trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh: \[ I = \left( \frac{6 + (-1) + 1}{3}, \frac{1 + 3 + (-1)}{3}, \frac{0 + 2 + 1}{3} \right) = \left( \frac{6 - 1 + 1}{3}, \frac{1 + 3 - 1}{3}, \frac{0 + 2 + 1}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right) = (2, 1, 1) \] Vậy, trọng tâm của tam giác ABC là I(2;1;1). Đúng. b) Xét điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho \( |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = 3\sqrt{5} \). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM bằng \(\sqrt{37}\). M thuộc mặt phẳng (Oyz) nên M có dạng (0, y, z). Ta có: \[ \overrightarrow{MA} = (6 - 0, 1 - y, 0 - z) = (6, 1 - y, -z) \] \[ \overrightarrow{MB} = (-1 - 0, 3 - y, 2 - z) = (-1, 3 - y, 2 - z) \] \[ \overrightarrow{MC} = (1 - 0, -1 - y, 1 - z) = (1, -1 - y, 1 - z) \] Tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (6 - 1 + 1, 1 - y + 3 - y - 1 - y, -z + 2 - z + 1 - z) = (6, 3 - 3y, 3 - 3z) \] Ta có: \[ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |(6, 3 - 3y, 3 - 3z)| = \sqrt{6^2 + (3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2} = 3\sqrt{5} \] \[ \sqrt{36 + (3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2} = 3\sqrt{5} \] \[ 36 + (3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2 = 45 \] \[ (3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2 = 9 \] Giá trị lớn nhất của AM: \[ AM = \sqrt{(6 - 0)^2 + (1 - y)^2 + (0 - z)^2} = \sqrt{36 + (1 - y)^2 + z^2} \] Để AM lớn nhất, ta cần \( (1 - y)^2 + z^2 \) lớn nhất trong phạm vi cho phép. Từ \((3 - 3y)^2 + (3 - 3z)^2 = 9\), ta thấy \( y = 0 \) và \( z = 0 \) là trường hợp tối ưu: \[ AM = \sqrt{36 + 1 + 0} = \sqrt{37} \] Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM bằng \(\sqrt{37}\). Đúng. c) Biết rằng C là trọng tâm của tam giác ABE. Tọa độ của điểm E là (-2; -7; 1). Trọng tâm của tam giác ABE là: \[ C = \left( \frac{6 + (-1) + x_E}{3}, \frac{1 + 3 + y_E}{3}, \frac{0 + 2 + z_E}{3} \right) = (1, -1, 1) \] Từ đó: \[ \frac{6 - 1 + x_E}{3} = 1 \Rightarrow 5 + x_E = 3 \Rightarrow x_E = -2 \] \[ \frac{1 + 3 + y_E}{3} = -1 \Rightarrow 4 + y_E = -3 \Rightarrow y_E = -7 \] \[ \frac{0 + 2 + z_E}{3} = 1 \Rightarrow 2 + z_E = 3 \Rightarrow z_E = 1 \] Vậy tọa độ của điểm E là (-2; -7; 1). Đúng. d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz) bằng \(\sqrt{37}\). Khoảng cách từ điểm A(6;1;0) đến mặt phẳng (Oyz) là: \[ d = |x_A| = |6| = 6 \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz) bằng 6. Sai. Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai