Giúp mình với!

Câu 1. Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) với đạo hàm \( f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng không: \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^2 = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x + 2)^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x - 3)^2 = 0 \] Do đó, ta có: \[ x = 1, \quad x = -2, \quad x = 3 \] 2. Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các điểm \( x = -2, 1, 3 \): - Khi \( x < -2 \): \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^2 < 0 \quad (\text{vì } x-1 < 0, (x+2)^2 > 0, (x-3)^2 > 0) \] - Khi \( -2 < x < 1 \): \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^2 < 0 \quad (\text{vì } x-1 < 0, (x+2)^2 > 0, (x-3)^2 > 0) \] - Khi \( 1 < x < 3 \): \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^2 > 0 \quad (\text{vì } x-1 > 0, (x+2)^2 > 0, (x-3)^2 > 0) \] - Khi \( x > 3 \): \[ f'(x) = (x-1)(x+2)^2(x-3)^2 > 0 \quad (\text{vì } x-1 > 0, (x+2)^2 > 0, (x-3)^2 > 0) \] 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -2 \): \[ f'(x) \) không đổi dấu từ âm sang dương hoặc ngược lại, do đó \( x = -2 \) không là điểm cực trị. - Tại \( x = 1 \): \[ f'(x) \) thay đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 3 \): \[ f'(x) \) không đổi dấu từ âm sang dương hoặc ngược lại, do đó \( x = 3 \) không là điểm cực trị. Vậy, hàm số \( y = f(x) \) có 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu tại \( x = 1 \). Đáp số: 1 điểm cực trị. Câu 2. Để tìm liều lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( G(x) = 0,035x^2(15 - x) \). Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số - Liều lượng thuốc \( x \) phải là số dương và nhỏ hơn hoặc bằng 15 (vì \( 15 - x \geq 0 \)). - Do đó, miền xác định của hàm số là \( 0 < x \leq 15 \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số \( G(x) \) \[ G'(x) = \frac{d}{dx} [0,035x^2(15 - x)] \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ G'(x) = 0,035 \left[ 2x(15 - x) + x^2(-1) \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \left[ 30x - 2x^2 - x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \left[ 30x - 3x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \cdot 3x(10 - x) \] \[ G'(x) = 0,105x(10 - x) \] Bước 3: Tìm điểm cực đại của hàm số - Đặt đạo hàm \( G'(x) = 0 \): \[ 0,105x(10 - x) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 10 \] Bước 4: Kiểm tra các điểm biên và điểm cực trị - Tại \( x = 0 \): \[ G(0) = 0,035 \cdot 0^2 \cdot (15 - 0) = 0 \] - Tại \( x = 10 \): \[ G(10) = 0,035 \cdot 10^2 \cdot (15 - 10) \] \[ G(10) = 0,035 \cdot 100 \cdot 5 \] \[ G(10) = 0,035 \cdot 500 \] \[ G(10) = 17,5 \] - Tại \( x = 15 \): \[ G(15) = 0,035 \cdot 15^2 \cdot (15 - 15) \] \[ G(15) = 0,035 \cdot 225 \cdot 0 \] \[ G(15) = 0 \] Bước 5: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất - \( G(0) = 0 \) - \( G(10) = 17,5 \) - \( G(15) = 0 \) Từ đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( G(x) \) là 17,5, đạt được khi \( x = 10 \). Vậy liều lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất là 10 miligam. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B. 2. Tính vận tốc của vật thể. 3. Tính quãng đường vật thể di chuyển trong 15 phút. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B Khoảng cách giữa hai điểm A(500; 400; 12) và B(650; 450; 14) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] \[ AB = \sqrt{(650 - 500)^2 + (450 - 400)^2 + (14 - 12)^2} \] \[ AB = \sqrt{150^2 + 50^2 + 2^2} \] \[ AB = \sqrt{22500 + 2500 + 4} \] \[ AB = \sqrt{25004} \] \[ AB \approx 158.12 \text{ km} \] Bước 2: Tính vận tốc của vật thể Vận tốc của vật thể được tính bằng công thức: \[ v = \frac{s}{t} \] Trong đó: - \( s \) là khoảng cách đã tính ở bước 1. - \( t \) là thời gian vật thể di chuyển từ điểm A đến điểm B, tức là 10 phút. \[ v = \frac{158.12}{\frac{10}{60}} \] \[ v = \frac{158.12}{\frac{1}{6}} \] \[ v = 158.12 \times 6 \] \[ v \approx 948.72 \text{ km/h} \] Bước 3: Tính quãng đường vật thể di chuyển trong 15 phút Quãng đường vật thể di chuyển trong 15 phút được tính bằng công thức: \[ s = v \times t \] Trong đó: - \( v \) là vận tốc của vật thể. - \( t \) là thời gian vật thể di chuyển, tức là 15 phút. \[ s = 948.72 \times \frac{15}{60} \] \[ s = 948.72 \times \frac{1}{4} \] \[ s = 237.18 \text{ km} \] Vậy, trong 15 phút kể từ lúc radar phát hiện, vật thể đó di chuyển một quãng đường khoảng 237 km (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 4. Để tính công sinh bởi trọng lực khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm thành phần của trọng lực dọc theo cầu trượt: Trọng lực của em nhỏ là: \[ \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g} \] Với \( m = 30 \, \text{kg} \) và \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \), ta có: \[ P = 30 \times 9,8 = 294 \, \text{N} \] Thành phần của trọng lực dọc theo cầu trượt là: \[ P_{\parallel} = P \sin(30^\circ) \] Biết rằng \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), ta có: \[ P_{\parallel} = 294 \times \frac{1}{2} = 147 \, \text{N} \] 2. Tính công sinh bởi thành phần trọng lực dọc theo cầu trượt: Độ dài cầu trượt là \( d = 3 \, \text{m} \). Công sinh bởi thành phần trọng lực dọc theo cầu trượt là: \[ A = P_{\parallel} \cdot d \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ A = 147 \times 3 = 441 \, \text{J} \] Vậy công sinh bởi trọng lực khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là \( 441 \, \text{J} \). Câu 5. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba). 2. Tính khoảng tứ phân vị bằng cách lấy Q3 trừ đi Q1. Bước 1: Xác định Q1 và Q3 - Tổng số lượng dữ liệu là 200. - Vị trí của Q1 là ở khoảng $\frac{200}{4} = 50$ (vị trí thứ 50). - Vị trí của Q3 là ở khoảng $\frac{3 \times 200}{4} = 150$ (vị trí thứ 150). Bước 2: Tìm giá trị tương ứng với Q1 và Q3 - Nhóm chứa Q1: [10;20) + [20;30) + [30;40) = 17 + 32 + 40 = 89 (vị trí thứ 50 nằm trong nhóm [30;40)). - Nhóm chứa Q3: [10;20) + [20;30) + [30;40) + [40;50) + [50;60) = 17 + 32 + 40 + 48 + 50 = 187 (vị trí thứ 150 nằm trong nhóm [50;60)). Bước 3: Áp dụng công thức tính Q1 và Q3 - Công thức tính Q1: $Q1 = L + \frac{(n/4 - F_{L})}{f} \times w$, ở đây $L = 30$, $n/4 = 50$, $F_{L} = 49$, $f = 40$, $w = 10$. $Q1 = 30 + \frac{(50 - 49)}{40} \times 10 = 30 + \frac{1}{40} \times 10 = 30 + 0.25 = 30.25$. - Công thức tính Q3: $Q3 = L + \frac{(3n/4 - F_{L})}{f} \times w$, ở đây $L = 50$, $3n/4 = 150$, $F_{L} = 137$, $f = 50$, $w = 10$. $Q3 = 50 + \frac{(150 - 137)}{50} \times 10 = 50 + \frac{13}{50} \times 10 = 50 + 2.6 = 52.6$. Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 52.6 - 30.25 = 22.35. Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 22.35 (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Câu 6. Để tìm giá trị của \( m + n \), ta cần xác định tâm đối xứng \( I(m, n) \) của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax + b}{ax + d} \). Bước 1: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax + b}{ax + d} \). Hàm số \( y = \frac{ax + b}{ax + d} \) có dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số này nằm tại giao điểm của đường thẳng \( x = -\frac{d}{a} \) và đường thẳng \( y = 1 \). Bước 2: Tìm tọa độ tâm đối xứng \( I(m, n) \). - Tọa độ \( m \) là giá trị của \( x \) khi \( ax + d = 0 \): \[ ax + d = 0 \implies x = -\frac{d}{a} \] Vậy \( m = -\frac{d}{a} \). - Tọa độ \( n \) là giá trị của \( y \) khi \( x = -\frac{d}{a} \): \[ y = \frac{a(-\frac{d}{a}) + b}{a(-\frac{d}{a}) + d} = \frac{-d + b}{-d + d} = \frac{-d + b}{0} \] Tuy nhiên, từ đồ thị, ta thấy rằng tâm đối xứng nằm trên đường thẳng \( y = 1 \). Do đó: \[ n = 1 \] Bước 3: Tính \( m + n \). \[ m + n = -\frac{d}{a} + 1 \] Vậy giá trị của \( m + n \) là: \[ m + n = -\frac{d}{a} + 1 \] Đáp số: \( m + n = -\frac{d}{a} + 1 \)