Giup mk nha

1. Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \) - Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 3 \] - Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Tìm tọa độ của các điểm cực trị: \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = -1 \quad \text{(điểm cực đại)} \] \[ y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 1 = 3 \quad \text{(điểm cực tiểu)} \] - Tọa độ của hai điểm cực trị là \( A(1, -1) \) và \( B(-1, 3) \). - Tính khoảng cách \( AB \): \[ AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 2. Tính góc giữa hai vectơ và tích vector của chúng - Vectơ \(\overrightarrow{a}\) có tọa độ \((-1, 1, 2)\) và vectơ \(\overrightarrow{b}\) có tọa độ \((3, 0, -1)\). - Tính độ dài của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10} \] - Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -3 + 0 - 2 = -5 \] - Tính cos của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{60}} = \frac{-5}{2\sqrt{15}} = -\frac{5}{2\sqrt{15}} \] - Tính tích vector của hai vectơ: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 3) + \mathbf{k}((-1) \cdot 0 - 1 \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(1 - 6) + \mathbf{k}(0 - 3) = -\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (-1, 5, -3) \] 3. Tính các tích phân - Tính \( I = \int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2} \, dx \): \[ I = \int \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}\right) \, dx = \int 1 \, dx - 2 \int \frac{1}{x} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx \] \[ = x - 2 \ln |x| - \frac{3}{x} + C \] - Tính \( F(x) = \int \frac{\cos^2 x + 1}{\cos^2 x} \, dx \): \[ F(x) = \int \left(1 + \frac{1}{\cos^2 x}\right) \, dx = \int 1 \, dx + \int \sec^2 x \, dx \] \[ = x + \tan x + C \] - Biết \( F(x) = 3 \): \[ x + \tan x + C = 3 \] \[ C = 3 - x - \tan x \] Vậy \( F(x) = x + \tan x + 3 - x - \tan x = 3 \).