Nsmshhxhxjcjcjjcjcjcj

Câu 14. a) Ta có $\overrightarrow{AB} = B - A = (1-4, 1+2, -2-1) = (-3, 3, -3)$. Do đó, mệnh đề này là Đúng. b) Ta tính $|\overrightarrow{AB}|$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}. \] Do đó, mệnh đề này là Đúng. c) Ta tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC: \[ M = \left( \frac{4+4}{2}, \frac{-2-2}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = (4, -2, 2). \] Do đó, mệnh đề này là Sai. d) Nếu ABCD là hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Ta tính $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (4-1, -2-1, 3+2) = (3, -3, 5). \] Ta có $\overrightarrow{AD} = D - A = (x-4, y+2, z-1)$. Vì $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, ta có: \[ x - 4 = 3 \Rightarrow x = 7, \] \[ y + 2 = -3 \Rightarrow y = -5, \] \[ z - 1 = 5 \Rightarrow z = 6. \] Do đó, tọa độ điểm D là $(7, -5, 6)$. Do đó, mệnh đề này là Sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Đúng. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Sai. Câu 15. Để tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$: - Trong tứ diện đều ABCD, các cạnh đều bằng nhau và các mặt đều là tam giác đều. - Gọi O là tâm của đáy ABC, ta có $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ tạo thành một góc ở đỉnh A. - Ta biết rằng trong tam giác đều, góc giữa hai cạnh là 60°. Do đó, góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ cũng là 60°. 2. Áp dụng công thức скалярного произведения двух векторов: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(\theta) \] - Trong đó, $|\overrightarrow{AB}| = a$ và $|\overrightarrow{CA}| = a$ (vì ABCD là tứ diện đều). - Góc $\theta$ giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ là 60°, do đó $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. 3. Thay các giá trị vào công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \] Vậy, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = \frac{a^2}{2}$. Câu 16. Khoảng cách từ điểm \( A(a; b; c) \) đến trục tọa độ Oz là khoảng cách từ điểm \( A \) đến điểm trên trục Oz gần nó nhất. Ta sẽ tìm điểm \( B(0; 0; z) \) trên trục Oz sao cho khoảng cách từ \( A \) đến \( B \) là nhỏ nhất. Khoảng cách giữa hai điểm \( A(a; b; c) \) và \( B(0; 0; z) \) được tính bằng công thức: \[ AB = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2 + (c - z)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + (c - z)^2} \] Để khoảng cách này nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa biểu thức \( a^2 + b^2 + (c - z)^2 \). Ta thấy rằng \( a^2 + b^2 \) là hằng số và không phụ thuộc vào \( z \), do đó ta chỉ cần tối thiểu hóa \( (c - z)^2 \). \( (c - z)^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( z = c \). Vì vậy, điểm \( B \) gần nhất với \( A \) là \( B(0; 0; c) \). Khoảng cách từ điểm \( A \) đến trục Oz là: \[ AB = \sqrt{a^2 + b^2 + (c - c)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(a; b; c) \) đến trục tọa độ Oz là: \[ \sqrt{a^2 + b^2} \] Câu 17. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh = 6 + 7 + 4 + 8 + 8 = 33 học sinh 2. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 = $\frac{n}{4} = \frac{33}{4} = 8,25$ - Vị trí của Q3 = $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 33}{4} = 24,75$ 3. Xác định các nhóm chứa Q1 và Q3: - Nhóm chứa Q1: Nhóm thứ 2 (vì 8,25 nằm trong khoảng từ 8 đến 15) - Nhóm chứa Q3: Nhóm thứ 4 (vì 24,75 nằm trong khoảng từ 24 đến 32) 4. Tính Q1 và Q3: - Nhóm thứ 2 có giới hạn dưới là 4 và giới hạn trên là 6, với tần số là 7. - Nhóm thứ 4 có giới hạn dưới là 8 và giới hạn trên là 10, với tần số là 8. Áp dụng công thức tính Q1 và Q3: \[ Q1 = L_1 + \left( \frac{\frac{n}{4} - F_{L_1}}{f_{Q1}} \right) \times w \] \[ Q3 = L_3 + \left( \frac{\frac{3n}{4} - F_{L_3}}{f_{Q3}} \right) \times w \] Trong đó: - \(L_1\) và \(L_3\) là giới hạn dưới của nhóm chứa Q1 và Q3. - \(F_{L_1}\) và \(F_{L_3}\) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa Q1 và Q3. - \(f_{Q1}\) và \(f_{Q3}\) là tần số của nhóm chứa Q1 và Q3. - \(w\) là khoảng rộng của nhóm. - Tính Q1: \[ Q1 = 4 + \left( \frac{8,25 - 6}{7} \right) \times 2 = 4 + \left( \frac{2,25}{7} \right) \times 2 = 4 + 0,6429 \approx 4,6 \] - Tính Q3: \[ Q3 = 8 + \left( \frac{24,75 - 22}{8} \right) \times 2 = 8 + \left( \frac{2,75}{8} \right) \times 2 = 8 + 0,6875 \approx 8,7 \] 5. Khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 8,7 - 4,6 = 4,1 Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 4,1. Câu 18. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời của chất điểm theo thời gian. 2. Xác định khoảng thời gian trong đó vận tốc tức thời giảm. 3. Tính giá trị biểu thức \( T = 2a + 3b \). Bước 1: Tìm vận tốc tức thời của chất điểm. Vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). Ta có: \[ s(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 6t^2 - t + 1 \] Tính đạo hàm: \[ v(t) = s'(t) = -t^2 + 12t - 1 \] Bước 2: Xác định khoảng thời gian trong đó vận tốc tức thời giảm. Vận tốc tức thời giảm khi đạo hàm của \( v(t) \) là âm. Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = (-t^2 + 12t - 1)' = -2t + 12 \] Để tìm khoảng thời gian mà \( v(t) \) giảm, ta giải bất phương trình: \[ v'(t) < 0 \] \[ -2t + 12 < 0 \] \[ -2t < -12 \] \[ t > 6 \] Như vậy, vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian \( t > 6 \). Bước 3: Tính giá trị biểu thức \( T = 2a + 3b \). Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian từ 6 giây trở đi. Do đó, ta có: \[ a = 6 \] \[ b = 10 \] Tính giá trị biểu thức \( T \): \[ T = 2a + 3b \] \[ T = 2 \times 6 + 3 \times 10 \] \[ T = 12 + 30 \] \[ T = 42 \] Vậy giá trị biểu thức \( T \) là 42. Câu 19. Để tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai. 3. Tính độ lệch chuẩn. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính bằng công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Ta tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [5; 7): Giá trị trung tâm là \( \frac{5 + 7}{2} = 6 \) - Nhóm [7; 9): Giá trị trung tâm là \( \frac{7 + 9}{2} = 8 \) - Nhóm [9; 11): Giá trị trung tâm là \( \frac{9 + 11}{2} = 10 \) - Nhóm [11; 13): Giá trị trung tâm là \( \frac{11 + 13}{2} = 12 \) - Nhóm [13; 15): Giá trị trung tâm là \( \frac{13 + 15}{2} = 14 \) Bây giờ, ta tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(9 \times 6) + (7 \times 8) + (6 \times 10) + (8 \times 12) + (5 \times 14)}{9 + 7 + 6 + 8 + 5} \] \[ \bar{x} = \frac{54 + 56 + 60 + 96 + 70}{35} \] \[ \bar{x} = \frac{336}{35} \] \[ \bar{x} = 9.6 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \( S^2 \) được tính bằng công thức: \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Ta tính \( (x_i - \bar{x})^2 \) cho mỗi nhóm: - Nhóm [5; 7): \( (6 - 9.6)^2 = (-3.6)^2 = 12.96 \) - Nhóm [7; 9): \( (8 - 9.6)^2 = (-1.6)^2 = 2.56 \) - Nhóm [9; 11): \( (10 - 9.6)^2 = (0.4)^2 = 0.16 \) - Nhóm [11; 13): \( (12 - 9.6)^2 = (2.4)^2 = 5.76 \) - Nhóm [13; 15): \( (14 - 9.6)^2 = (4.4)^2 = 19.36 \) Bây giờ, ta tính phương sai: \[ S^2 = \frac{(9 \times 12.96) + (7 \times 2.56) + (6 \times 0.16) + (8 \times 5.76) + (5 \times 19.36)}{35} \] \[ S^2 = \frac{116.64 + 17.92 + 0.96 + 46.08 + 96.8}{35} \] \[ S^2 = \frac{278.4}{35} \] \[ S^2 \approx 7.95 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn \( S \) được tính bằng công thức: \[ S = \sqrt{S^2} \] \[ S = \sqrt{7.95} \] \[ S \approx 2.82 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu là 7.95 và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 2.82 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 20. Để tìm khối lượng sản phẩm x (tạ) sao cho lợi nhuận P(x) lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của P(x) \[ P'(x) = -3x^2 - 36x + 135 \] Bước 2: Giải phương trình P'(x) = 0 \[ -3x^2 - 36x + 135 = 0 \] \[ x^2 + 12x - 45 = 0 \] \[ (x + 15)(x - 3) = 0 \] \[ x = -15 \text{ hoặc } x = 3 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định và chọn nghiệm phù hợp Do x là khối lượng sản phẩm sản xuất được, nên x > 0 và x ≤ 20. Vì vậy, ta loại nghiệm x = -15 và chỉ giữ lại nghiệm x = 3. Bước 4: Kiểm tra tính chất của P(x) tại các điểm x = 0, x = 3 và x = 20 \[ P(0) = 2000 \] \[ P(3) = -(3)^3 - 18(3)^2 + 135(3) + 2000 = -27 - 162 + 405 + 2000 = 2216 \] \[ P(20) = -(20)^3 - 18(20)^2 + 135(20) + 2000 = -8000 - 7200 + 2700 + 2000 = -10500 \] Bước 5: So sánh các giá trị P(x) để tìm giá trị lớn nhất \[ P(0) = 2000 \] \[ P(3) = 2216 \] \[ P(20) = -10500 \] Từ các kết quả trên, ta thấy rằng P(3) = 2216 là giá trị lớn nhất. Vậy để có lợi nhuận lớn nhất, xưởng cần sản xuất 3 tạ sản phẩm trong một tuần.