giải bằng phương pháp tọa độ hóa 7cx' 1 15ơ,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a;AD=a\sqrt3,$ cạnh bên,$SA\bot(ABCD),$ mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc $60^0.$ Tính số đo của góc giữa hai mặt,phẳng (SBC) và (SBD) (đơn vị đo: độ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SBD).

1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng:
   - Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $. Vì $ ABCD $ là hình chữ nhật nên $ O $ là trung điểm của cả $ AC $ và $ BD $.
   - Mặt phẳng $ (SBC) $ cắt $ (SBD) $ theo đường thẳng $ SB $.
   - Ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (SBD) $, tức là góc giữa hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ khi chiếu lên $ (SBD) $.

2. Tính khoảng cách từ $ S $ đến $ (ABCD) $:
   - Vì $ SA \perp (ABCD) $, ta có $ SA $ là khoảng cách từ $ S $ đến $ (ABCD) $.
   - Mặt phẳng $ (SBC) $ tạo với mặt đáy một góc $ 60^\circ $. Do đó, ta có:
     $$
     \tan 60^\circ = \frac{SA}{OB}
     $$
     Trong đó, $ OB = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{AB^2 + AD^2}}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{4a^2}}{2} = a $
     $$
     \tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{SA}{a} \implies SA = a\sqrt{3}
     $$

3. Tính khoảng cách từ $ S $ đến $ (SBD) $:
   - Gọi $ H $ là chân đường vuông góc hạ từ $ S $ xuống $ (SBD) $. Ta có $ SH $ là khoảng cách từ $ S $ đến $ (SBD) $.
   - Ta cần tính $ SH $:
     $$
     SH = \frac{SA \cdot OB}{SB}
     $$
     Trong đó, $ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a $
     $$
     SH = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2}
     $$

4. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (SBD) $:
   - Gọi $ \theta $ là góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (SBD) $. Ta có:
     $$
     \sin \theta = \frac{SH}{SC}
     $$
     Trong đó, $ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (2a)^2} = \sqrt{3a^2 + 4a^2} = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7} $
     $$
     \sin \theta = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}
     $$
     $$
     \theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{21}}{14} \right) \approx 21^\circ
     $$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (SBD) $ là $ 21^\circ $.