giải hộ với các đạo hữu $3(m^2+4m)x+1$ nghịch biến trên khoảng (0; 1)?,Câu 6. Tìm giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4+$ (6m --,$4)~x^2+1-m$ là ba đỉnh của một tam giác vuông? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng,phần trăm). KQ:

Question

Accepted Answer

Câu 6:
Để tìm giá trị của tham số $ m $ sao cho ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y = x^4 + (6m - 4)x^2 + 1 - m $ tạo thành một tam giác vuông, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là:
$$ y = x^4 + (6m - 4)x^2 + 1 - m $$

Đạo hàm bậc nhất của $ y $ theo $ x $:
$$ y' = 4x^3 + 2(6m - 4)x $$
$$ y' = 4x^3 + (12m - 8)x $$

Bước 2: Tìm các điểm cực trị
Đặt $ y' = 0 $ để tìm các điểm cực trị:
$$ 4x^3 + (12m - 8)x = 0 $$
$$ x(4x^2 + 12m - 8) = 0 $$

Giải phương trình này:
$$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x^2 + 12m - 8 = 0 $$
$$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = \frac{8 - 12m}{4} $$
$$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 2 - 3m $$

Điều kiện để $ x^2 = 2 - 3m $ có nghiệm thực là:
$$ 2 - 3m \geq 0 $$
$$ m \leq \frac{2}{3} $$

Vậy các điểm cực trị là:
$$ x_1 = 0 $$
$$ x_2 = \sqrt{2 - 3m} $$
$$ x_3 = -\sqrt{2 - 3m} $$

Bước 3: Tìm tọa độ các điểm cực trị
Thay các giá trị $ x_1, x_2, x_3 $ vào hàm số $ y $:

- Tại $ x_1 = 0 $:
$$ y_1 = 0^4 + (6m - 4) \cdot 0^2 + 1 - m = 1 - m $$

- Tại $ x_2 = \sqrt{2 - 3m} $:
$$ y_2 = (\sqrt{2 - 3m})^4 + (6m - 4)(\sqrt{2 - 3m})^2 + 1 - m $$
$$ y_2 = (2 - 3m)^2 + (6m - 4)(2 - 3m) + 1 - m $$
$$ y_2 = 4 - 12m + 9m^2 + 12m - 24m^2 - 8 + 12m + 1 - m $$
$$ y_2 = 9m^2 - 24m^2 + 12m + 12m - m + 4 - 8 + 1 $$
$$ y_2 = -15m^2 + 23m - 3 $$

- Tại $ x_3 = -\sqrt{2 - 3m} $:
$$ y_3 = (-\sqrt{2 - 3m})^4 + (6m - 4)(-\sqrt{2 - 3m})^2 + 1 - m $$
$$ y_3 = (2 - 3m)^2 + (6m - 4)(2 - 3m) + 1 - m $$
$$ y_3 = 4 - 12m + 9m^2 + 12m - 24m^2 - 8 + 12m + 1 - m $$
$$ y_3 = 9m^2 - 24m^2 + 12m + 12m - m + 4 - 8 + 1 $$
$$ y_3 = -15m^2 + 23m - 3 $$

Bước 4: Kiểm tra điều kiện tam giác vuông
Ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông nếu một trong các góc giữa các đường nối các điểm này là 90°.

Do tính đối xứng, ta thấy rằng tam giác có đỉnh tại $ (0, 1 - m) $ và hai đỉnh khác đối xứng qua trục $ y $.

Điều kiện để tam giác vuông là:
$$ (1 - m) = 0 $$
$$ m = 1 $$

Kết luận
Giá trị của tham số $ m $ để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y = x^4 + (6m - 4)x^2 + 1 - m $ tạo thành một tam giác vuông là:
$$ m = 1 $$