giúo kinh vơi B,- ,Câu 43. Hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-3x^2+4$ là,$Cớug$,A 4. B -4. C)--2. D 2.,Câu 44. Trong các hàm số sau hàm số nào có cực đại, cực tiểu và $x_{CT}

Question

giúo kinh vơi B,-   ,Câu 43. Hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-3x^2+4$ là,$Cớug$,A 4. B -4. C)--2. D 2.,Câu 44. Trong các hàm số sau hàm số nào có cực đại, cực tiểu và $x_{CT}<x_{CD}?$,$A.~y=-x^3+9x^2+3x+2$ $	extcircled B)~y=-x^3-3x-2$,$C.~y=x^3-9x^2-3x+5.$ $	extcircled D~y=x^3+2x^2+8x+2.$,Câu 45. Số điểm cực trị của hàm số $y=x^{2017}(x+1)$ là,A 2017. B  2. C 1.,D,Câu 46. Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+3.$ Tính diện tích của,$\Delta ABC$,A 1. $	extcircled B~2\sqrt2.$ C 2.. $	extcircled D~\sqrt2$,Câu 47. Hàm số $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}$ có giá trị cực đại bằng,$A.~y_{cd}=-3.$ $	extcircled B~y_{cd}=3.$ $\mathbb{C}~y_{cd}=-1.$ $	extcircled D~y_{cd}=5$,Câu 48. Tìm giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x^2+m$ (với m là tham số thực). $y^\prime=3x^2-6x$,A.0. B m. C 22. $D.~-4+m$,Câu 49. Hàm số nào dưới đây chỉ có cực tiểu và không có cực đại?,$A.~y=-x^4+x^2.$ $B)~y=\frac{x+1}{x-1}.$,$	extcircled C~y=x^4+1.$ $D.~y=x^3+x^2+2x-1$,Câu 50. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có đồ thị là (C). Gọi A,BB là áác iểể  ựực tr củaa(()) Tínnh,độ dài đoạn thẳng AB. $y^\prime=3x^2-6x$,$A.~AB=2\sqrt5.$ $	extcircled B~AB=5.$ $	extcircled C~AB=4.$ $D.~AB=5\sqrt2.$,Câu 51. Hàm số $y=x^3-2x,$ , hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại (yco) và giá trị cực tiểu (ycr) là,$=$,$A.~y_{CT}+y_{CD}=0.$ $B.~y_{CT}=2y_{CD}.$ $C.~y_{CT}-3y_{CD}=0$ $	extcircled D~y_{CT}=y_{CD}.$,Câu 52. Hàm số $y=(x^2-1)(3x-2)^3.$ có bao nhiêu điểm cực đại?,A.0. B 2. C 3. D. 1.,Câu 53. Cho hàm số $y=x^3-3x^2-2.$ Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Tính khoảng cách,từ gốc tọa độ O đến A. $y_1=3x^2-6x$,A 2. $	extcircled{B.}~2\sqrt{10}.$ C  4. $D.~2\sqrt5.$,Câu 54. Gọi A,B,C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+1$ Chu vi của tam giác,ABC là,$A.~2-\sqrt2.$ $B.~1+\sqrt2$ C. 2. $	extcircled D~2+2\sqrt2$,Câu 55. Cho hàm số $y=-x^4+2x^2+3$ có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là $y_1$ và $y_2$ Khi,đó khẳng định nào sau đây đúng?,$A.~y_1+3y_2=15$ $B.~2y_1-y_2=5$ $	extcircled C~y_2-y_1=2\sqrt3$ $D.~y_1+y_2=12$,Câu 56. Cho hàm số $y=x-\sin2x+3$ Chọn khẳng định đúng?,A. Hàm số nhận điểm $x=\frac\pi3$ làm điểm cực tiểu.,B. Hàm số nhận điểm $x=-\frac\pi3$ làm điểm cực tiểu.,I.  TNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 32

Accepted Answer

Câu 43: Để tìm hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 4 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 0}}{6} = \frac{6 \pm 6}{6} $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: $$ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 $$ - Tại $ x = 0 $: $$ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \Rightarrow \text{Hàm số đạt cực đại tại } x = 0 $$ $$ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 $$ - Tại $ x = 2 $: $$ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại } x = 2 $$ $$ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 $$ 4. Tính hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: $$ \text{Giá trị cực đại} = 4 $$ $$ \text{Giá trị cực tiểu} = 0 $$ $$ \text{Hiệu số} = 4 - 0 = 4 $$ Vậy, hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 4 $ là $ 4 $. Đáp án: A. 4 Câu 44: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và thỏa mãn điều kiện $ x_{CT} < x_{CD} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của mỗi hàm số. 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn. 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn (cực đại hoặc cực tiểu). 4. Kiểm tra điều kiện $ x_{CT} < x_{CD} $. Bây giờ, hãy giải bài toán sau đây: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ A = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 $. Câu 45: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = x^{2017}(x + 1) $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số $ y = x^{2017}(x + 1) $ có thể viết lại thành: $$ y = x^{2017} + x^{2018} $$ Đạo hàm của $ y $ theo $ x $ là: $$ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 - 1}{(x-1)^2}\right) = \frac{(2x)(x-1)^2 - (x^2 - 1) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{2x(x-1) - (x^2 - 1)}{(x-1)^3} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 1}{(x-1)^3} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x-1)^3} = \frac{(x-1)^2}{(x-1)^3} = \frac{1}{x-1} $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ y' = 2017x^{2016} + 2018x^{2017} = 0 $$ Ta có: $$ x^{2016}(2017 + 2018x) = 0 $$ Giải phương trình này, ta được: $$ x^{2016} = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2017 + 2018x = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{2017}{2018} $$ 3. Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định điểm cực trị: - Tại $ x = 0 $: $$ y''(0) = 2017 \cdot 2016 \cdot 0^{2015} + 2018 \cdot 2017 \cdot 0^{2016} = 0 $$ Do đó, $ x = 0 $ không phải là điểm cực trị. - Tại $ x = -\frac{2017}{2018} $: $$ y''\left(-\frac{2017}{2018}\right) = 2017 \cdot 2016 \left(-\frac{2017}{2018}\right)^{2015} + 2018 \cdot 2017 \left(-\frac{2017}{2018}\right)^{2016} $$ Vì $ \left(-\frac{2017}{2018}\right)^{2015} $ và $ \left(-\frac{2017}{2018}\right)^{2016} $ đều âm, nên $ y''\left(-\frac{2017}{2018}\right) $ sẽ âm, do đó $ x = -\frac{2017}{2018} $ là điểm cực đại. Vậy, số điểm cực trị của hàm số $ y = x^{2017}(x + 1) $ là 1. Đáp án: C. 1 Câu 46: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số $ y = x^4 - 2x^2 + 3 $. 2. Xác định tọa độ của các điểm cực trị A, B, C. 3. Tính diện tích của tam giác ABC. Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số $ y = x^4 - 2x^2 + 3 $: $$ y' = 4x^2 - 12x^2 + 12x = 0 $$ Tiếp theo, ta giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 4x^3 - 12x^2 + 12x = 0 $$ $$ 4x(x^2 - 3x + 3) = 0 $$ Phương trình này có nghiệm: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 3x + 3 = 0 $$ Phương trình $ x^2 - 3x + 3 = 0 $ vô nghiệm vì biệt thức $ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0 $. Vậy, duy nhất nghiệm là $ x = 0 $. Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm cực trị Thay $ x = 0 $ vào hàm số để tìm giá trị của $ y $: $$ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3 $$ Vậy, điểm cực trị là $ (0, 3) $. Bước 3: Tính diện tích của tam giác ABC Do chỉ có một điểm cực trị, ta không thể tạo thành tam giác với ba đỉnh khác nhau. Do đó, diện tích của tam giác ABC là 0. Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu tính diện tích của tam giác với ba điểm cực trị, thì ta cần kiểm tra lại các bước trên. Kết luận: Diện tích của tam giác ABC là 0. Đáp án: $ \boxed{0} $ Câu 47: Để tìm giá trị cực đại của hàm số $ y = \frac{x^2 - x + 4}{x - 1} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số $ y = \frac{x^2 - x + 4}{x - 1} $ là một phân thức, do đó chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức để tìm đạo hàm $ y' $. Đặt $ u = x^2 - x + 4 $ và $ v = \sqrt{x^2 + 1} $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ P = u + v $. Câu 48: Để tìm giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + m $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = 3x^2 - 6x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 3x^2 - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0 $$ $$ \Rightarrow x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: - Tính đạo hàm bậc hai: $$ y'' = 6x - 6 $$ - Thay $ x = 0 $ vào $ y'' $: $$ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 $$ Do đó, tại $ x = 0 $, hàm số đạt cực đại. - Thay $ x = 2 $ vào $ y'' $: $$ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 $$ Do đó, tại $ x = 2 $, hàm số đạt cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại $ x = 0 $: $$ y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + m = m $$ Vậy giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + m $ là $ m $. Đáp án đúng là: $ B. m $ Câu 49: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho chỉ có cực tiểu và không có cực đại, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng hàm số bằng cách tìm đạo hàm bậc nhất và bậc hai của chúng. A. $ y = -x^4 + x^2 $ 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: $$ y' = -4x^3 + 2x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ -4x^3 + 2x = 0 \Rightarrow x(-2x^2 + 1) = 0 \Rightarrow x=0\text{ hoặc }x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}} $$ 3. Tìm đạo hàm bậc hai: $$ y'' = -12x^2 + 2 $$ 4. Kiểm tra dấu của $ y'' $ tại các điểm $ x = 0 $ và $ x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} $: $$ y''(0) = 2 > 0 \quad (\text{cực tiểu}) $$ $$ y''(\pm\sqrt{\frac{1}{2}}) = -12\left(\frac{1}{2}\right) + 2 = -6 + 2 = -4 < 0 \quad (\text{cực đại}) $$ Do đó, hàm số này có cả cực tiểu và cực đại. B. $ y = \frac{x+1}{x-1} $ 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: $$ y' = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ \frac{-2}{(x-1)^2} = 0 \quad (\text{không có nghiệm}) $$ Do đó, hàm số này không có cực trị. C. $ y = x^4 + 1 $ 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: $$ y' = 4x^3 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 4x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 $$ 3. Tìm đạo hàm bậc hai: $$ y'' = 12x^2 $$ 4. Kiểm tra dấu của $ y'' $ tại $ x = 0 $: $$ y''(0) = 0 \quad (\text{không đủ thông tin để kết luận}) $$ Do đó, hàm số này chỉ có cực tiểu tại $ x = 0 $. D. $ y = x^3 + x^2 + 2x - 1 $ 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: $$ y' = 3x^2 + 2x + 2 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 3x^2 + 2x + 2 = 0 \quad (\text{không có nghiệm thực}) $$ Do đó, hàm số này không có cực trị. Kết luận Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số $ y = x^4 + 1 $ có cực tiểu và không có cực đại. Đáp án đúng là: $\boxed{C}$. Câu 50: Để tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 2 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = 3x^2 - 6x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các giá trị của $ x $: $$ 3x^2 - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0 $$ $$ \begin{cases} 3x = 0 \ x - 2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = 0 \ x = 2 \end{cases} $$ 3. Thay các giá trị $ x = 0 $ và $ x = 2 $ vào hàm số ban đầu để tìm giá trị tương ứng của $ y $: $$ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 $$ $$ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 $$ 4. Ta có tọa độ các điểm cực trị là $ A(0, 2) $ và $ B(2, -2) $. 5. Tính khoảng cách giữa hai điểm $ A $ và $ B $: $$ AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$ Vậy độ dài đoạn thẳng $ AB $ là $ 2\sqrt{5} $. Đáp án đúng là: $$ A.~AB=2\sqrt{5} $$ Câu 51: Để tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $ y = x^3 - 2x $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x) = 3x^2 - 2 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 3x^2 - 2 = 0 $$ $$ 3x^2 + 2 \geq 0$$ Câu 52: Để tìm số điểm cực đại của hàm số $ y = (x^2 - 1)(3x - 2)^3 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất $ y' $: $$ y = (x^2 - 1)(3x - 2)^3 $$ Áp dụng quy tắc nhân để tìm đạo hàm: $$ y' = \frac{d}{dx}[(x^2 - 1)(3x - 2)^3] $$ $$ y' = \frac{1}{(x+1)^2} $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ y' = 0 \implies \text{(các nghiệm của phương trình)} $$ 3. Xét dấu của $ y' $ để tìm các khoảng tăng giảm của hàm số: - Xác định các khoảng mà $ y' > 0 $ và $ y' < 0 $. 4. Xác định các điểm cực đại: - Điểm cực đại xảy ra khi $ y' $ đổi dấu từ dương sang âm. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước chi tiết: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất $ y' $: $$ y = (x^2 - 1)(3x - 2)^3 $$ Áp dụng quy tắc nhân: $$ y' = \frac{d}{dx}[(x^2 - 1)] \cdot (3x - 2)^3 + (x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}[(3x - 2)^3] $$ $$ y' = 2x \cdot (3x - 2)^3 + (x^2 - 1) \cdot 3 \cdot (3x - 2)^2 \cdot 3 $$ $$ y' = 2x \cdot (3x - 2)^3 + 9(x^2 - 1) \cdot (3x - 2)^2 $$ $$ y' = (3x - 2)^2 [2x(3x - 2) + 9(x^2 - 1)] $$ $$ y' = (3x - 2)^2 [6x^2 - 4x + 9x^2 - 9] $$ $$ y' = (3x - 2)^2 [15x^2 - 4x - 9] $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ (3x - 2)^2 [15x^2 - 4x - 9] = 0 $$ $$ (3x - 2)^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 15x^2 - 4x - 9 = 0 $$ $$ 3x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 15x^2 - 4x - 9 = 0 $$ $$ x = \frac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 540}}{30} = \frac{4 \pm \sqrt{556}}{30} = \frac{4 \pm 2\sqrt{139}}{30} = \frac{2 \pm \sqrt{139}}{15} $$ 3. Xét dấu của $ y' $ để tìm các khoảng tăng giảm của hàm số: - Các nghiệm của $ y' = 0 $ là $ x = \frac{2}{3} $, $ x = \frac{2 + \sqrt{139}}{15} $, và $ x = \frac{2 - \sqrt{139}}{15} $. 4. Xác định các điểm cực đại: - Điểm cực đại xảy ra khi $ y' $ đổi dấu từ dương sang âm. Sau khi xét dấu của $ y' $ trong các khoảng, chúng ta thấy rằng hàm số có 1 điểm cực đại. Vậy, số điểm cực đại của hàm số là: $ \boxed{D. 1} $. Câu 53: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 - 2 $. 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm cực trị. 3. Xác định điểm cực đại $ A $. 4. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $ O(0,0) $ đến điểm $ A $. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm cực trị: $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $$ $$ \frac{1}{2} = 0 $$ Điều này không thể xảy ra, vì vậy không có điểm cực trị nào. 3. Xác định điểm cực đại $ A $: Vì không có điểm cực trị nào, nên không có điểm cực đại $ A $. 4. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $ O(0,0) $ đến điểm $ A $: Vì không có điểm cực đại $ A $, nên không thể tính khoảng cách từ gốc tọa độ $ O $ đến điểm $ A $. Do đó, đáp án đúng là: $$ \boxed{\text{Không có điểm cực đại}} $$ Câu 54: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y = x^4 - 2x^2 + 1 $. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số $ y = x^4 - 2x^2 + 1 $ là: $$ y' = 4x^3 - 4x $$ Bước 2: Giải phương trình $ y' = 0 $ $$ 4x^3 - 4x = 0 $$ $$ 4x( x^2 - 1) = 0 $$ $$ x^2 - 1 = 0 $$ $$ x^2 = 1 $$ $$ x = 0, \pm 1 $$ Bước 3: Xác định các điểm cực trị Thay các giá trị $ x = 0, \pm 1 $ vào hàm số để tìm giá trị tương ứng của $ y $: $$ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 1 = 1 $$ $$ y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $$ $$ y(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $$ Vậy các điểm cực trị là: $$ A(0, 1), B(1, 0), C(-1, 0) $$ Bước 4: Tính khoảng cách giữa các điểm Khoảng cách giữa hai điểm $ (x_1, y_1) $ và $ (x_2, y_2) $ được tính bằng công thức: $$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ Tính khoảng cách giữa $ A(0, 1) $ và $ B(1, 0) $: $$ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $$ Tính khoảng cách giữa $ B(1, 0) $ và $ C(-1, 0) $: $$ BC = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2} = 2 $$ Tính khoảng cách giữa $ C(-1, 0) $ và $ A(0, 1) $: $$ CA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $$ Bước 5: Tính chu vi của tam giác ABC Chu vi của tam giác ABC là tổng các cạnh: $$ P = AB + BC + CA = \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} $$ Vậy chu vi của tam giác ABC là: $$ \boxed{2 + 2\sqrt{2}} $$ Câu 55: Để tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $ y = -x^4 + 2x^2 + 3 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 3) = -4x^3 + 4x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ -4x^2 + 12 = 0 \ \Leftrightarrow x^2(1-4x^2)=0 \ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \ x = \pm 1 \end{array} \right. $$ 3. Thay các giá trị $ x = 0 $, $ x = 1 $, và $ x = -1 $ vào hàm số để tìm giá trị tương ứng của $ y $: $$ y(0) = -(0)^4 + 2(0)^2 + 3 = 3 $$ $$ y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 $$ $$ y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 $$ 4. Xác định giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: - Giá trị cực đại $ y_1 $ là 4 (đạt được tại $ x = 1 $ và $ x = -1 $). - Giá trị cực tiểu $ y_2 $ là 3 (đạt được tại $ x = 0 $). 5. Kiểm tra các khẳng định: - $ A.~y_1 + 3y_2 = 15 $ $$ 4 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13 \quad (\text{sai}) $$ - $ B.~2y_1 - y_2 = 5 $ $$ 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5 \quad (\text{đúng}) $$ - $ \textcircled{C}.~y_2 - y_1 = 2\sqrt{3} $ $$ 3 - 4 = -1 \quad (\text{sai}) $$ - $ D.~y_1 + y_2 = 12 $ $$ 4 + 3 = 7 \quad (\text{sai}) $$ Vậy khẳng định đúng là: $$ \boxed{B.~2y_1 - y_2 = 5} $$ Câu 56: Để xác định điểm cực tiểu của hàm số $ y = x - \sin 2x + 3 $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x - \sin 2x + 3) $$ $$ y' = 1 - 2\cos 2x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm dừng: $$ 1 - \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow x=1 $$ $$ 1 - 2\cos 2x = 0 $$ $$ 2\cos 2x = 1 $$ $$ \cos 2x = \frac{1}{2} $$ $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ 3. Xác định các điểm dừng trong khoảng cần xét: Chúng ta sẽ kiểm tra các điểm $ x = \frac{\pi}{6} $ và $ x = -\frac{\pi}{6} $. 4. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: $$ y'' = \frac{d}{dx}(1 - 2\cos 2x) $$ $$ y'' = 4\sin 2x $$ 5. Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm dừng: - Tại $ x = \frac{\pi}{6} $: $$ y''\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} > 0 $$ Vì $ y''\left(\frac{\pi}{6}\right) > 0 $, nên $ x = \frac{\pi}{6} $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = -\frac{\pi}{6} $: $$ y''\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 4\sin\left(2 \cdot -\frac{\pi}{6}\right) = 4\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3} < 0 $$ Vì $ y''\left(-\frac{\pi}{6}\right) < 0 $, nên $ x = -\frac{\pi}{6} $ là điểm cực đại. 6. Kết luận: Hàm số nhận điểm $ x = \frac{\pi}{6} $ làm điểm cực tiểu. Do đó, khẳng định đúng là: A. Hàm số nhận điểm $ x = \frac{\pi}{3} $ làm điểm cực tiểu. Lưu ý: Có vẻ như có sự nhầm lẫn giữa $ \frac{\pi}{6} $ và $ \frac{\pi}{3} $. Tuy nhiên, dựa trên các bước trên, điểm cực tiểu thực sự là $ x = \frac{\pi}{6} $.