Trả lời câu sau:

Câu 26. Để tính tích phân $\int^2_1 3\sqrt{x} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $3\sqrt{x}$. Ta có: \[ 3\sqrt{x} = 3x^{1/2} \] Hàm nguyên của $3x^{1/2}$ là: \[ \int 3x^{1/2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C = 2x^{3/2} + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ \int^2_1 3\sqrt{x} \, dx = \left[ 2x^{3/2} \right]^2_1 \] Bước 3: Tính giá trị tại cận trên và cận dưới: \[ \left[ 2x^{3/2} \right]^2_1 = 2(2)^{3/2} - 2(1)^{3/2} \] \[ = 2 \cdot 2\sqrt{2} - 2 \cdot 1 \] \[ = 4\sqrt{2} - 2 \] Vậy $\int^2_1 3\sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{2} - 2$. Do đó, đáp án đúng là: A. $4\sqrt{2} - 2$. Câu 27. Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. \[ \int^{\frac\pi2}_0\sin xdx = \left[-\cos x\right]^{\frac\pi2}_0 \] Bước 3: Tính giá trị tại các cận trên và cận dưới. \[ = -\cos\left(\frac\pi2\right) - (-\cos(0)) \] \[ = -0 - (-1) \] \[ = 1 \] Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ là 1. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 28. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( 2x + 1 \). Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \) và nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). Do đó, nguyên hàm của \( 2x + 1 \) là: \[ F(x) = x^2 + x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân: \[ I = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{2} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ I = \left( 2^2 + 2 \right) - \left( 0^2 + 0 \right) \] \[ I = (4 + 2) - (0 + 0) \] \[ I = 6 \] Vậy tích phân \( I = 6 \). Đáp án đúng là: B. \( I = 6 \). Câu 29. Để tính giá trị của tích phân $\int^b_0(3x^2 - 2ax - 1)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân từng phần của hàm số: \[ \int (3x^2 - 2ax - 1) dx = \int 3x^2 dx - \int 2ax dx - \int 1 dx \] Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int 2ax dx = 2a \cdot \frac{x^2}{2} = ax^2 \] \[ \int 1 dx = x \] Bước 3: Kết hợp lại: \[ \int (3x^2 - 2ax - 1) dx = x^3 - ax^2 - x + C \] Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào tích phân: \[ \int^b_0 (3x^2 - 2ax - 1) dx = \left[ x^3 - ax^2 - x \right]^b_0 \] Bước 5: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ = \left( b^3 - ab^2 - b \right) - \left( 0^3 - a \cdot 0^2 - 0 \right) \] \[ = b^3 - ab^2 - b \] Vậy giá trị của tích phân $\int^b_0 (3x^2 - 2ax - 1) dx$ là $b^3 - ab^2 - b$. Do đó, đáp án đúng là: C. $b^3 - ab^2 - b$. Câu 30. Để tính tích phân \( I = \int_{1}^{2} \frac{x-1}{x} \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách phân thức trong tích phân: \[ \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} \] Bước 2: Viết lại tích phân: \[ I = \int_{1}^{2} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân từng phần: \[ I = \int_{1}^{2} 1 \, dx - \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx \] Bước 4: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{1}^{2} 1 \, dx = [x]_{1}^{2} = 2 - 1 = 1 \] \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2 \] Bước 5: Kết hợp kết quả: \[ I = 1 - \ln 2 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = 1 - \ln 2 \). Câu 31. Để tính tích phân $\int^4_2 f(x) \, dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ \int^b_a f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \int^4_2 f(x) \, dx = F(4) - F(2) \] Biết rằng $F(2) = 6$ và $F(4) = 12$, ta thay vào công thức trên: \[ \int^4_2 f(x) \, dx = 12 - 6 = 6 \] Vậy tích phân $\int^4_2 f(x) \, dx$ bằng 6. Đáp án đúng là: B. 6. Câu 32. Để tính tích phân $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cos x$. Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]^{\frac{\pi}{2}}_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ \left[ \sin x \right]^{\frac{\pi}{2}}_0 = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin (0) \] Bước 4: Tính giá trị của các biểu thức: \[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \quad \text{và} \quad \sin (0) = 0 \] Bước 5: Kết quả cuối cùng: \[ 1 - 0 = 1 \] Vậy tích phân $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x \, dx$ bằng 1. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 33. Để tính tích phân $\int^2_1 \left( \frac{1}{x} + 2 \right) dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân từng phần của biểu thức trong dấu tích phân. \[ \int^2_1 \left( \frac{1}{x} + 2 \right) dx = \int^2_1 \frac{1}{x} dx + \int^2_1 2 dx \] Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ. \[ \int^2_1 \frac{1}{x} dx = \left[ \ln |x| \right]^2_1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \] \[ \int^2_1 2 dx = 2 \int^2_1 dx = 2 \left[ x \right]^2_1 = 2(2 - 1) = 2 \] Bước 3: Cộng kết quả của hai tích phân lại với nhau. \[ \int^2_1 \left( \frac{1}{x} + 2 \right) dx = \ln 2 + 2 \] Vậy đáp án đúng là: D. $\ln 2 + 2$. Câu 34. Để tính tích phân \( I = \int_{-3}^{5} 4f'(x) \, dx \), ta sẽ sử dụng công thức tính tích phân của đạo hàm của một hàm số. Bước 1: Áp dụng công thức tính tích phân của đạo hàm: \[ \int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a) \] Bước 2: Áp dụng vào bài toán: \[ \int_{-3}^{5} 4f'(x) \, dx = 4 \int_{-3}^{5} f'(x) \, dx \] \[ = 4 \left[ f(5) - f(-3) \right] \] Bước 3: Thay giá trị của \( f(5) \) và \( f(-3) \): \[ = 4 \left[ 9 - 1 \right] \] \[ = 4 \times 8 \] \[ = 32 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = 32 \). Câu 35. Để tính tích phân $\int^b_a 3^x dx$, ta sử dụng công thức tích phân của hàm mũ $a^x$: \[ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int^b_a 3^x dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]^b_a \] Tính giá trị tại cận trên và cận dưới: \[ = \frac{3^b}{\ln 3} - \frac{3^a}{\ln 3} \] Rút gọn biểu thức: \[ = \frac{3^b - 3^a}{\ln 3} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{3^b - 3^a}{\ln 3}$