Trả lời câu sau: Câu 26. $\int^2_13\sqrt xdx$ bằng,$A.~4\sqrt2-2.$ $B.~\sqrt2-1.$ $C.~4\sqrt2-1.$ $D.~2\sqrt2-2.$,Câu 27. (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ -2019) Giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ bằng,A. 0. B. 1. C. -1. $D.~\frac\pi2.$,Câu 28. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Tính tích phân $I=\int^2_0(2x+1)dx$,$A.~I=5.$ $B.~I=6.$ $C.~I=2.$ $D.~I=4.$,Câu 29. Với a,b là các tham số thực. Giá trị tích phân $\int^b_0(3x^2-2ax-1)dx$ bằng,$A.~b^3-b^2a-b.$ $B.~b^3+b^2a+b.$ $C.~b^3-ba^2-b$ $D.~3b^2-2ab-1.$,Câu 30. Tính tích phân $I=\int^2_1\frac{x-1}xdx.$,$A.~I=1-\ln2.$ $B.~I=\frac74.$ $C.~I=1+\ln2.$ $D.~I=2\ln2.$,Câu 31. (Mã 101-2023) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$,trên R và $F(2)=6,~F(4)=12.$ Tích phân $\int^4_2f(x)dx$ bằng,A. 2. B. 6. C. 18. D. -6.,Câu 32. Tích phân $\int^{\frac\pi2}_0\cos xdx$ bằng,A. 1. $B.~\frac\pi2.$ $C.~\frac12.$ D. -1.,Câu 33. Tích phân $\int^2_1(\frac1x+2)dx$ bằng:,$A.~\ln2-1.$ $B.~\ln2+1.$ $C.~\ln2+3.$ $D.~\ln2+2.$,Câu 34. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $[-3;5],$ biết $f(-3)=1$ và $f(5)=9.$ Tính $I=\int^5_{-3}4f^\prime(x)dx.$,$A.~I=32.$ $B.~I=44.$ $C.~I=40.$ $D.~I=36.$,Câu 35. Tích phân $\int^b_a3^xdx$ bằng,$A.~\frac{4^b-4^a}4$ $B.~\frac{3^b-3^a}{\ln3}.$ $C.~\frac{3^a-3^b}{\ln3}.$ $D.~\frac{3^{b+1}-3^{a+1}}{x+1}.$

Question

Accepted Answer

Câu 26.
Để tính tích phân $\int^2_1 3\sqrt{x} \, dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm nguyên của $3\sqrt{x}$.
Ta có:
$$ 3\sqrt{x} = 3x^{1/2} $$

Hàm nguyên của $3x^{1/2}$ là:
$$ \int 3x^{1/2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C = 2x^{3/2} + C $$

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định:
$$ \int^2_1 3\sqrt{x} \, dx = \left[ 2x^{3/2} \right]^2_1 $$

Bước 3: Tính giá trị tại cận trên và cận dưới:
$$ \left[ 2x^{3/2} \right]^2_1 = 2(2)^{3/2} - 2(1)^{3/2} $$
$$ = 2 \cdot 2\sqrt{2} - 2 \cdot 1 $$
$$ = 4\sqrt{2} - 2 $$

Vậy $\int^2_1 3\sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{2} - 2$.

Do đó, đáp án đúng là:
A. $4\sqrt{2} - 2$.

Câu 27.
Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$.
Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định.
$$
\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx = \left[-\cos x\right]^{\frac\pi2}_0
$$

Bước 3: Tính giá trị tại các cận trên và cận dưới.
$$
= -\cos\left(\frac\pi2\right) - (-\cos(0))
$$
$$
= -0 - (-1)
$$
$$
= 1
$$

Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ là 1.

Đáp án đúng là: B. 1.

Câu 28.
Để tính tích phân $ I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ 2x + 1 $.

Nguyên hàm của $ 2x $ là $ x^2 $ và nguyên hàm của $ 1 $ là $ x $. Do đó, nguyên hàm của $ 2x + 1 $ là:
$$ F(x) = x^2 + x + C $$

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân:
$$ I = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{2} $$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm:
$$ I = \left( 2^2 + 2 \right) - \left( 0^2 + 0 \right) $$
$$ I = (4 + 2) - (0 + 0) $$
$$ I = 6 $$

Vậy tích phân $ I = 6 $.

Đáp án đúng là: B. $ I = 6 $.

Câu 29.
Để tính giá trị của tích phân $\int^b_0(3x^2 - 2ax - 1)dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính tích phân từng phần của hàm số:
$$
\int (3x^2 - 2ax - 1) dx = \int 3x^2 dx - \int 2ax dx - \int 1 dx
$$

Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$
\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
$$
$$
\int 2ax dx = 2a \cdot \frac{x^2}{2} = ax^2
$$
$$
\int 1 dx = x
$$

Bước 3: Kết hợp lại:
$$
\int (3x^2 - 2ax - 1) dx = x^3 - ax^2 - x + C
$$

Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào tích phân:
$$
\int^b_0 (3x^2 - 2ax - 1) dx = \left[ x^3 - ax^2 - x \right]^b_0
$$

Bước 5: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức:
$$
= \left( b^3 - ab^2 - b \right) - \left( 0^3 - a \cdot 0^2 - 0 \right)
$$
$$
= b^3 - ab^2 - b
$$

Vậy giá trị của tích phân $\int^b_0 (3x^2 - 2ax - 1) dx$ là $b^3 - ab^2 - b$.

Do đó, đáp án đúng là:
C. $b^3 - ab^2 - b$.

Câu 30.
Để tính tích phân $ I = \int_{1}^{2} \frac{x-1}{x} \, dx $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tách phân thức trong tích phân:
$$ 
\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x}
$$

Bước 2: Viết lại tích phân:
$$ 
I = \int_{1}^{2} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \, dx
$$

Bước 3: Tính tích phân từng phần:
$$ 
I = \int_{1}^{2} 1 \, dx - \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx
$$

Bước 4: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$ 
\int_{1}^{2} 1 \, dx = [x]_{1}^{2} = 2 - 1 = 1
$$
$$ 
\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2
$$

Bước 5: Kết hợp kết quả:
$$ 
I = 1 - \ln 2
$$

Vậy đáp án đúng là:
A. $ I = 1 - \ln 2 $.

Câu 31.
Để tính tích phân $\int^4_2 f(x) \, dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó:

$$
\int^b_a f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$

Trong đó, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.

Áp dụng vào bài toán này, ta có:

$$
\int^4_2 f(x) \, dx = F(4) - F(2)
$$

Biết rằng $F(2) = 6$ và $F(4) = 12$, ta thay vào công thức trên:

$$
\int^4_2 f(x) \, dx = 12 - 6 = 6
$$

Vậy tích phân $\int^4_2 f(x) \, dx$ bằng 6.

Đáp án đúng là: B. 6.

Câu 32.
Để tính tích phân $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x \, dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cos x$. Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$.

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân:
$$
\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]^{\frac{\pi}{2}}_0
$$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm:
$$
\left[ \sin x \right]^{\frac{\pi}{2}}_0 = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin (0)
$$

Bước 4: Tính giá trị của các biểu thức:
$$
\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \quad \text{và} \quad \sin (0) = 0
$$

Bước 5: Kết quả cuối cùng:
$$
1 - 0 = 1
$$

Vậy tích phân $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x \, dx$ bằng 1.

Đáp án đúng là: A. 1.

Câu 33.
Để tính tích phân $\int^2_1 \left( \frac{1}{x} + 2 \right) dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính tích phân từng phần của biểu thức trong dấu tích phân.

$$
\int^2_1 \left( \frac{1}{x} + 2 \right) dx = \int^2_1 \frac{1}{x} dx + \int^2_1 2 dx
$$

Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ.

$$
\int^2_1 \frac{1}{x} dx = \left[ \ln |x| \right]^2_1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2
$$

$$
\int^2_1 2 dx = 2 \int^2_1 dx = 2 \left[ x \right]^2_1 = 2(2 - 1) = 2
$$

Bước 3: Cộng kết quả của hai tích phân lại với nhau.

$$
\int^2_1 \left( \frac{1}{x} + 2 \right) dx = \ln 2 + 2
$$

Vậy đáp án đúng là:
D. $\ln 2 + 2$.

Câu 34.
Để tính tích phân $ I = \int_{-3}^{5} 4f'(x) \, dx $, ta sẽ sử dụng công thức tính tích phân của đạo hàm của một hàm số.

Bước 1: Áp dụng công thức tính tích phân của đạo hàm:
$$ \int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a) $$

Bước 2: Áp dụng vào bài toán:
$$ \int_{-3}^{5} 4f'(x) \, dx = 4 \int_{-3}^{5} f'(x) \, dx $$
$$ = 4 \left[ f(5) - f(-3) \right] $$

Bước 3: Thay giá trị của $ f(5) $ và $ f(-3) $:
$$ = 4 \left[ 9 - 1 \right] $$
$$ = 4 \times 8 $$
$$ = 32 $$

Vậy đáp án đúng là:
A. $ I = 32 $.

Câu 35.
Để tính tích phân $\int^b_a 3^x dx$, ta sử dụng công thức tích phân của hàm mũ $a^x$:

$$
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C
$$

Áp dụng vào bài toán:

$$
\int^b_a 3^x dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]^b_a
$$

Tính giá trị tại cận trên và cận dưới:

$$
= \frac{3^b}{\ln 3} - \frac{3^a}{\ln 3}
$$

Rút gọn biểu thức:

$$
= \frac{3^b - 3^a}{\ln 3}
$$

Vậy đáp án đúng là:

B. $\frac{3^b - 3^a}{\ln 3}$