Giànnxmvfmd Câu 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:,Trong không gian (Oxy:), cho mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=4.$,a) [Mức độ 1] Mặt cầu (S) có tâm $I(-1;-1;2).$,b) [Mức độ 2] Mặt cầu (S) có bán kính bằng 4.,c) [Mức độ 3] Mặt cầu $(C):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-25=0$ có bán kính lớn hơn bán,kính của mặt cầu (S).,d) [Mức độ 4] Giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha):2x+y-z-1=0$ và mặt cầu (S) là,đường tròn có bán kính bằng $\frac{\sqrt3}3.$,Câu 3. Cho $(S_1):~x^2+y^2+z^2-2x-6y-4z-11=0,~(S_2):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-3=0$ cắt nhau,theo giao tuyến là đường tròn (C). Gọi $I_1I_2$ lần lượt là tâm của mặt cầu $(S_1).(S_2)$,a) [Mức độ 1] Mặt cầu (S,) có tâm $I_1(1;3;2)$ bán kính $R=25.$,b) [Mức độ 2] Độ lớn đoạn thẳng $I,I_2=\sqrt{26}.$,c) [Mức độ 3] Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn (C) có phương trình là:,$(P):~5y+z+4=0.$,d) [Mức độ 4] Lấy điểm $A\in(C)$ thuộc đường tròn (C) khi đó $S_{MM}=\sqrt{209}.$

Question

Accepted Answer

Câu 2.
a) Mệnh đề sai vì mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=4$ có tâm $I(1;1;-2)$.

b) Mệnh đề sai vì mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=4$ có bán kính bằng 2.

c) Mệnh đề đúng vì mặt cầu $(C):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-25=0$ có bán kính bằng $\sqrt{34}$, lớn hơn bán kính của mặt cầu (S).

d) Mệnh đề sai vì giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha):2x+y-z-1=0$ và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{3}$.

Câu 3.
a) Ta có $(S_1):~x^2+y^2+z^2-2x-6y-4z-11=0$
$(S_1)$ có tâm $I_1(1;3;2)$ và bán kính $R_1=\sqrt{25}=5.$
b) Ta có $(S_2):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-3=0$
$(S_2)$ có tâm $I_2(1;-2;1)$ và bán kính $R_2=\sqrt{10}.$
Độ dài đoạn thẳng $I_1I_2=\sqrt{(1-1)^2+(3+2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{26}.$
c) Mặt phẳng chứa đường tròn (C) vuông góc với đường thẳng $I_1I_2.$
Phương vectơ của đường thẳng $I_1I_2$ là $\vec{I_1I_2}=(0;5;1).$
Vậy mặt phẳng chứa đường tròn (C) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(0;5;1).$
Mặt phẳng chứa đường tròn (C) đi qua điểm $I_1(1;3;2).$
Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn (C) là $5(y-3)+(z-2)=0$ hay $5y+z+4=0.$
d) Mặt phẳng chứa đường tròn (C) cắt $(S_1)$ theo đường tròn (C) có bán kính là $r.$
Ta có $r^2=R_1^2-d^2,$ trong đó $d$ là khoảng cách từ tâm $I_1$ đến mặt phẳng chứa đường tròn (C).
Ta có $d=\frac{|5	imes 3+2+4|}{\sqrt{0^2+5^2+1^2}}=\frac{25}{\sqrt{26}}.$
Vậy $r^2=25-\frac{625}{26}=\frac{209}{26}.$
Diện tích hình tròn (C) là $S_{MM}=r^2	imes \pi=\frac{209}{26}	imes \pi=\frac{209\pi}{26}.$