Sossssssssssss Câu 3. Chiều cao (cm) của các em học sinh lớp 12A6 được thống kê theo bảng tần số ghép nhóm như sau:, Nhóm,[140;150),[150;160),[160:170),[170;180),[180;190) Tần số,2,8,16,9,1 ,a) Chiều cao trung bình của lớp 12A6 bằng,b) Lớp có ít nhất 10 học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp.,c) Khoảng biến thiên mẫu số liệu đã cho là : $50.49$,d) Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh của lớp tham gia đội tình nguyện. Xác suất để chọn được "4 học sinh có,chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm)" là $\frac2{561}.S$,Câu 4. Thành phố X theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực A và B trong thời gian 6 năm (kể từ,đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ sau mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực trên trong 6 năm,,với đơn vị trên trục Or tính bằng năm, $t=0$ ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục Oy biểu diễn,ngàn người tăng thêm mỗi năm.,,Khu vực A có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_t(t)=-\frac35t^2+2t+8.$,Khu vực B có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_s(t)=a-t.$,Biết rằng $P_s(t),P_s(t)$ l ầnn lượt biểu diễn tổng số dânnnăng thêm tại khu vực A à B sau rnnămm,a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực A với $t=4$ là 35200 (người trên năm). S $S$,b) Ta có $P_4(0)=8$ và $a=8.~Đ$,c) Dân số của khu vực B tăng thêm từ 0 đến 5 năm là 27500 (người). 9,d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai,đoạn từ 0 đến 5 năm là 12500 người. D,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối (họ nhớ,số cuối này khác 0). Họ đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 1 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Xác suất để,ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quả hai lần là $\frac m{81},$ , tính m..,Câu 2. Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí M và N cách nhau 6km .,Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí P nằm trên đường trung,,trực của đoạn thẳng MN, cách trung điểm I của đoạn thẳng MN một,khoảng 3km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy,nước P đến một vị trí H nằm giữa đoạn thẳng PI sau đó chia ra hai,nhánh dẫn tới hai nhà máy M và N (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống,dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km ? (làm tròn kết quả đến hàng phần,mười).

Question

Sossssssssssss Câu 3. Chiều cao (cm) của các em học sinh lớp 12A6 được thống kê theo bảng tần số ghép nhóm như sau:, Nhóm,[140;150),[150;160),[160:170),[170;180),[180;190) Tần số,2,8,16,9,1 ,a) Chiều cao trung bình của lớp 12A6 bằng,b) Lớp có ít nhất 10 học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp.,c) Khoảng biến thiên mẫu số liệu đã cho là : $50.49$,d) Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh của lớp tham gia đội tình nguyện. Xác suất để chọn được "4 học sinh có,chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm)" là $\frac2{561}.S$,Câu 4. Thành phố X theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực A và B trong thời gian 6 năm (kể từ,đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ sau mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực trên trong 6 năm,,với đơn vị trên trục Or tính bằng năm, $t=0$ ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục Oy biểu diễn,ngàn người tăng thêm mỗi năm.,

,Khu vực A có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_t(t)=-\frac35t^2+2t+8.$,Khu vực B có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_s(t)=a-t.$,Biết rằng $P_s(t),P_s(t)$ l ầnn lượt biểu diễn tổng số dânnnăng thêm tại khu vực A à B sau rnnămm,a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực A với $t=4$ là 35200 (người trên năm). S $S$,b) Ta có $P_4(0)=8$ và $a=8.~Đ$,c) Dân số của khu vực B tăng thêm từ 0 đến 5 năm là 27500 (người). 9,d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai,đoạn từ 0 đến 5 năm là 12500 người. D,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối (họ nhớ,số cuối này khác 0). Họ đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 1 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Xác suất để,ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quả hai lần là $\frac m{81},$ , tính m..,Câu 2. Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí M và N cách nhau 6km .,Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí P nằm trên đường trung,

,trực của đoạn thẳng MN, cách trung điểm I của đoạn thẳng MN một,khoảng 3km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy,nước P đến một vị trí H nằm giữa đoạn thẳng PI sau đó chia ra hai,nhánh dẫn tới hai nhà máy M và N (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống,dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km ? (làm tròn kết quả đến hàng phần,mười).

Accepted Answer

Câu 3.
a) Chiều cao trung bình của lớp 12A6:
$$
\text{Trung bình} = \frac{(145 \times 2) + (155 \times 8) + (165 \times 16) + (175 \times 9) + (185 \times 1)}{2 + 8 + 16 + 9 + 1}
= \frac{290 + 1240 + 2640 + 1575 + 185}{46}
= \frac{5930}{46}
= 128.913
$$

b) Lớp có ít nhất 10 học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp:
- Nhóm [170;180) có 9 học sinh, nhóm [180;190) có 1 học sinh.
- Tổng cộng có 10 học sinh trong nhóm này, do đó ít nhất 10 học sinh có chiều cao lớn hơn 128.913 cm.

c) Khoảng biến thiên mẫu số liệu đã cho:
$$
\text{Khoảng biến thiên} = 185 - 145 = 40
$$

d) Xác suất để chọn được 4 học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm):
- Số học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 cm là 10 học sinh (nhóm [170;180) và nhóm [180;190)).
- Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 46 học sinh là:
$$
C_{46}^4 = \frac{46!}{4!(46-4)!} = \frac{46 \times 45 \times 44 \times 43}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 163185
$$
- Số cách chọn 4 học sinh từ 10 học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 cm là:
$$
C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
$$
- Xác suất để chọn được 4 học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 cm là:
$$
P = \frac{C_{10}^4}{C_{46}^4} = \frac{210}{163185} = \frac{2}{561}
$$

Đáp số:
a) Chiều cao trung bình của lớp 12A6 là 128.913 cm.
b) Lớp có ít nhất 10 học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp.
c) Khoảng biến thiên mẫu số liệu đã cho là 40.
d) Xác suất để chọn được 4 học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 cm là $\frac{2}{561}$.

Câu 4.
a) Tính tốc độ gia tăng dân số của khu vực A với $t=4$:
$P_t(4) = -\frac{3}{5} \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 8 = -\frac{3}{5} \cdot 16 + 8 + 8 = -\frac{48}{5} + 16 = -9.6 + 16 = 6.4$ (ngàn người/năm)
Tức là tốc độ gia tăng dân số của khu vực A với $t=4$ là 6400 người/năm.

b) Ta có $P_t(0) = 8$ và $P_s(0) = a$. Vì $P_s(0) = P_t(0)$ nên $a = 8$.

c) Tính dân số của khu vực B tăng thêm từ 0 đến 5 năm:
$P_s(t) = 8 - t$
Dân số tăng thêm từ 0 đến 5 năm là:
$\int_{0}^{5} (8 - t) dt = [8t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{5} = (8 \cdot 5 - \frac{5^2}{2}) - (8 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) = 40 - \frac{25}{2} = 40 - 12.5 = 27.5$ (ngàn người)
Tức là dân số của khu vực B tăng thêm từ 0 đến 5 năm là 27500 người.

d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm:
Diện tích dưới đồ thị của $P_t(t)$ từ 0 đến 5 năm:
$\int_{0}^{5} (-\frac{3}{5}t^2 + 2t + 8) dt = [-\frac{3}{5} \cdot \frac{t^3}{3} + 2 \cdot \frac{t^2}{2} + 8t]_{0}^{5} = [-\frac{t^3}{5} + t^2 + 8t]_{0}^{5} = (-\frac{5^3}{5} + 5^2 + 8 \cdot 5) - (0) = -25 + 25 + 40 = 40$ (ngàn người)
Diện tích dưới đồ thị của $P_s(t)$ từ 0 đến 5 năm đã tính ở phần c là 27.5 (ngàn người).
Sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm là:
$40 - 27.5 = 12.5$ (ngàn người)
Tức là phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm là 12500 người.

Đáp án đúng là: d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm là 12500 người.

Câu 1.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất để ít nhất một trong hai người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quả hai lần.

Bước 1: Tính xác suất để một người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quả hai lần.

- Số chữ số cuối có thể là từ 1 đến 9, tổng cộng có 9 chữ số.
- Xác suất để một người gọi đúng số điện thoại đã quên trong lần đầu tiên là $\frac{1}{9}$.

Bước 2: Tính xác suất để cả hai người đều không gọi đúng số điện thoại đã quên trong lần đầu tiên.

- Xác suất để một người không gọi đúng số điện thoại đã quên trong lần đầu tiên là $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
- Xác suất để cả hai người đều không gọi đúng số điện thoại đã quên trong lần đầu tiên là $\left(\frac{8}{9}\right)^2 = \frac{64}{81}$.

Bước 3: Tính xác suất để ít nhất một trong hai người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quả hai lần.

- Xác suất để ít nhất một trong hai người gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quả hai lần là $1 - \frac{64}{81} = \frac{17}{81}$.

Vậy, xác suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quả hai lần là $\frac{17}{81}$.

Do đó, $m = 17$.

Câu 2.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đạo hàm.

1. Xác định các đại lượng:
   - Gọi $ IH = x $ (0 ≤ x ≤ 3)
   - $ PI = 3 $ km
   - $ IM = IN = 3 $ km

2. Tính khoảng cách từ P đến M và N:
   - $ PM = PN = \sqrt{(PI)^2 + (IM)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $ km

3. Tính khoảng cách từ H đến M và N:
   - $ HM = HN = \sqrt{(IH)^2 + (IM)^2} = \sqrt{x^2 + 3^2} = \sqrt{x^2 + 9} $ km

4. Tổng độ dài đường ống dẫn nước:
   - $ f(x) = PH + HM + HN = (3 - x) + 2\sqrt{x^2 + 9} $

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) $:
   - Tính đạo hàm của $ f(x) $:
     $$
     f'(x) = -1 + 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}
     $$
   - Đặt $ f'(x) = 0 $:
     $$
     -1 + 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 0
     $$
     $$
     2 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 1
     $$
     $$
     \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 1
     $$
     $$
     2x = \sqrt{x^2 + 9}
     $$
     $$
     4x^2 = x^2 + 9
     $$
     $$
     3x^2 = 9
     $$
     $$
     x^2 = 3
     $$
     $$
     x = \sqrt{3}
     $$

6. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất:
   - Thay $ x = \sqrt{3} $ vào $ f(x) $:
     $$
     f(\sqrt{3}) = (3 - \sqrt{3}) + 2\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9} = (3 - \sqrt{3}) + 2\sqrt{3 + 9} = (3 - \sqrt{3}) + 2\sqrt{12} = (3 - \sqrt{3}) + 2 \cdot 2\sqrt{3} = 3 - \sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3 + 3\sqrt{3}
     $$
   - Tính gần đúng:
     $$
     3 + 3\sqrt{3} \approx 3 + 3 \cdot 1.732 = 3 + 5.196 = 8.196 \approx 8.2 \text{ km}
     $$

Vậy tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất là 8.2 km.