Giuao em với ạ Trong không gian Oxyz, cho các điểm,$A(6;1;0),B(-1;3;2)$ và $C(1;-1;1).$,Chọn đúng hoặc sai,a) Biết rằng C là trọng tâm của tam giác,ABE. Toạ độ của điểm E là Đúng Sai,$(-2;-7;1).$,b) Trọng tâm của tam giác ABC là,Đúng Sai,$I(2;1;1).$,c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt,Đúng Sai,phẳng $(Oyz)$ bằng $\sqrt{37}.$,d) Xét điểm M thuộc mặt phẳng ( Oyz ),sao cho,$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3\sqrt5.$ Giá trị,,lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM,bằng $\sqrt{37}.$

Question

Giuao em với ạ Trong không gian Oxyz, cho các điểm,$A(6;1;0),B(-1;3;2)$ và $C(1;-1;1).$,Chọn đúng hoặc sai,a) Biết rằng C là trọng tâm của tam giác,ABE. Toạ độ của điểm E là Đúng Sai,$(-2;-7;1).$,b) Trọng tâm của tam giác ABC là,Đúng Sai,$I(2;1;1).$,c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt,Đúng Sai,phẳng $(Oyz)$ bằng $\sqrt{37}.$,d) Xét điểm M thuộc mặt phẳng ( Oyz ),sao cho,$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3\sqrt5.$ Giá trị,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/9f4d1d26dd694cc4821ea1d780f60d35.jpg />,lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM,bằng $\sqrt{37}.$

Accepted Answer

a) Biết rằng C là trọng tâm của tam giác ABE. Tọa độ của điểm E là (-2; -7; 1). Đúng Sai

Để kiểm tra tọa độ của điểm E, ta sử dụng công thức tính trọng tâm của tam giác:
$$ C = \left( \frac{x_A + x_B + x_E}{3}, \frac{y_A + y_B + y_E}{3}, \frac{z_A + z_B + z_E}{3} \right) $$

Thay tọa độ của A, B và C vào:
$$ (1, -1, 1) = \left( \frac{6 + (-1) + x_E}{3}, \frac{1 + 3 + y_E}{3}, \frac{0 + 2 + z_E}{3} \right) $$

Từ đó ta có:
$$ 1 = \frac{5 + x_E}{3} \Rightarrow x_E = -2 $$
$$ -1 = \frac{4 + y_E}{3} \Rightarrow y_E = -7 $$
$$ 1 = \frac{2 + z_E}{3} \Rightarrow z_E = 1 $$

Vậy tọa độ của điểm E là (-2, -7, 1). Đúng.

b) Trọng tâm của tam giác ABC là I(2, 1, 1). Đúng Sai

Tính trọng tâm của tam giác ABC:
$$ I = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) $$

Thay tọa độ của A, B và C vào:
$$ I = \left( \frac{6 + (-1) + 1}{3}, \frac{1 + 3 + (-1)}{3}, \frac{0 + 2 + 1}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right) = (2, 1, 1) $$

Vậy trọng tâm của tam giác ABC là I(2, 1, 1). Đúng.

c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz) bằng $\sqrt{37}$. Đúng Sai

Khoảng cách từ điểm A(6, 1, 0) đến mặt phẳng (Oyz) là khoảng cách từ điểm A đến trục Oz, tức là tọa độ x của điểm A:
$$ d = |x_A| = |6| = 6 $$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz) là 6, không phải $\sqrt{37}$. Sai.

d) Xét điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = 3\sqrt{5}$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM bằng $\sqrt{37}$. Đúng Sai

Giả sử M có tọa độ (0, y, z) vì M thuộc mặt phẳng (Oyz).

Ta có:
$$ \overrightarrow{MA} = (6, 1-y, -z) $$
$$ \overrightarrow{MB} = (-1, 3-y, 2-z) $$
$$ \overrightarrow{MC} = (1, -1-y, 1-z) $$

Tổng các vectơ:
$$ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (6-1+1, 1-y+3-y-1-y, -z+2-z+1-z) = (6, 3-3y, 3-3z) $$

Tính độ dài:
$$ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = \sqrt{(6)^2 + (3-3y)^2 + (3-3z)^2} = 3\sqrt{5} $$

$$ 36 + (3-3y)^2 + (3-3z)^2 = 45 $$
$$ (3-3y)^2 + (3-3z)^2 = 9 $$

Để giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM, ta xét:
$$ AM = \sqrt{(6-0)^2 + (1-y)^2 + (0-z)^2} = \sqrt{36 + (1-y)^2 + z^2} $$

Do $(3-3y)^2 + (3-3z)^2 = 9$, ta có:
$$ (1-y)^2 + z^2 = 1 $$

Vậy giá trị lớn nhất của AM là:
$$ AM = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} $$

Đúng.

Đáp án:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng