Giải chi tiết giúp mình $f~x=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}&khi~x

Question

Giải chi tiết giúp mình $f~x=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}&khi~x<3,~x
e1\4&khi~x=1\\sqrt{x+1}&khi~x\geq3\end{array}ight..$ $xightarrow1.\frac xx.=$,Câu 15: Cho hàm số,Hàm số f x liên tục tại:,A. mọi điểm thuộc $\mathbb R.$ B. mọi điểm trừ $x=1.$,C. mọi điểm trừ $x=3.$ D. mọi điểm trừ $x=1$ và $x=3.$,Câu 16: Số điểm gián đoạn của hàm số $h~x=\left\{\begin{array}{ll}2x&khi~x<0~xightarrow0^-~(lm~^2-1)~g.lm\x^2+1&khi~0\leq x\leq2~là:~\lim_{xightarrow0}x^2+1=1\3x-1&khi~x>2~xightarrow2^+~\lim_{xightarrow2^+_2}3x-1=5.yightarrow h\end{array}ight.$,$\left.\begin{array}lxightarrow2+xightarrow0\xightarrow2+3x-1=5.\km~x+p.0.c\end{array}ight\}ightarrow h$,A. 1. B. 2. C. 3.

Accepted Answer

Câu 15:
Để kiểm tra tính liên tục của hàm số $ f(x) $ tại các điểm, ta cần kiểm tra tính liên tục tại các điểm $ x = 1 $ và $ x = 3 $.

1. Kiểm tra tính liên tục tại $ x = 1 $:
   - Hàm số $ f(x) $ được định nghĩa là $ f(1) = 4 $.
   - Ta cần kiểm tra giới hạn của $ f(x) $ khi $ x \to 1 $:
     $$
     \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}
     $$
     Ta thấy rằng:
     $$
     \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad \text{khi} \quad x \neq 1
     $$
     Do đó:
     $$
     \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2
     $$
     Vì $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \neq f(1) = 4 $, nên hàm số $ f(x) $ không liên tục tại $ x = 1 $.

2. Kiểm tra tính liên tục tại $ x = 3 $:
   - Hàm số $ f(x) $ được định nghĩa là $ f(x) = \sqrt{x + 1} $ khi $ x \geq 3 $.
   - Ta cần kiểm tra giới hạn của $ f(x) $ khi $ x \to 3 $:
     $$
     \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1}
     $$
     Ta thấy rằng:
     $$
     \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad \text{khi} \quad x \neq 1
     $$
     Do đó:
     $$
     \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x + 1) = 3 + 1 = 4
     $$
     $$
     \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \sqrt{x + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2
     $$
     Vì $ \lim_{x \to 3^-} f(x) = 4 \neq \lim_{x \to 3^+} f(x) = 2 $, nên hàm số $ f(x) $ không liên tục tại $ x = 3 $.

Từ các kết quả trên, ta thấy rằng hàm số $ f(x) $ không liên tục tại $ x = 1 $ và $ x = 3 $. Do đó, hàm số $ f(x) $ liên tục tại mọi điểm trừ $ x = 1 $ và $ x = 3 $.

Đáp án đúng là: D. mọi điểm trừ $ x = 1 $ và $ x = 3 $.

Câu 16:
Để tìm số điểm gián đoạn của hàm số $ h(x) $, ta cần kiểm tra tính liên tục của hàm số tại các điểm chuyển tiếp giữa các mảnh của nó, cụ thể là tại $ x = 0 $ và $ x = 2 $.

1. Kiểm tra tính liên tục tại $ x = 0 $:
   - Giới hạn bên trái: $ \lim_{x \to 0^-} h(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x = 0 $
   - Giới hạn bên phải: $ \lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 1) = 1 $
   - Giá trị của hàm số tại $ x = 0 $: $ h(0) = 0^2 + 1 = 1 $

Ta thấy rằng $ \lim_{x \to 0^-} h(x) \neq \lim_{x \to 0^+} h(x) $. Do đó, hàm số không liên tục tại $ x = 0 $.

2. Kiểm tra tính liên tục tại $ x = 2 $:
   - Giới hạn bên trái: $ \lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5 $
   - Giới hạn bên phải: $ \lim_{x \to 2^+} h(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 1) = 3 \cdot 2 - 1 = 5 $
   - Giá trị của hàm số tại $ x = 2 $: $ h(2) = 2^2 + 1 = 5 $

Ta thấy rằng $ \lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2^+} h(x) = h(2) $. Do đó, hàm số liên tục tại $ x = 2 $.

Từ các bước trên, ta kết luận rằng hàm số $ h(x) $ có duy nhất một điểm gián đoạn tại $ x = 0 $.

Đáp án: A. 1.