Tính tổng a + b. Câu 6: Đường thẳng $x=m$ lần lượt cắt đồ thị hàm số $y=\log_5x$ và đồ thị hàm số $y=\log_5(x+4)$ tại các,điểm A B . Biết rằng khi $AB=\frac12$ thì $m=a+\sqrt b$ trong đó a,b là các số nguyên. Tổng $a+b$ bằng

Question

Tính tổng a + b. Câu 6: Đường thẳng $x=m$ lần lượt cắt đồ thị hàm số $y=\log_5x$ và đồ thị hàm số $y=\log_5(x+4)$ tại các,điểm A   B . Biết rằng khi $AB=\frac12$ thì $m=a+\sqrt b$ trong đó a,b là các số nguyên. Tổng $a+b$ bằng

Accepted Answer

Câu 6:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm A và B.
2. Tính khoảng cách AB.
3. Giải phương trình để tìm m.
4. Tìm tổng a + b.

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm A và B.
- Điểm A nằm trên đồ thị hàm số $ y = \log_5 x $. Khi $ x = m $, ta có $ y = \log_5 m $. Vậy tọa độ điểm A là $ (m, \log_5 m) $.
- Điểm B nằm trên đồ thị hàm số $ y = \log_5 (x + 4) $. Khi $ x = m $, ta có $ y = \log_5 (m + 4) $. Vậy tọa độ điểm B là $ (m, \log_5 (m + 4)) $.

Bước 2: Tính khoảng cách AB.
- Khoảng cách AB là hiệu của các tọa độ y của hai điểm A và B:
$$ AB = |\log_5 (m + 4) - \log_5 m| $$

Bước 3: Giải phương trình để tìm m.
- Theo đề bài, $ AB = \frac{1}{2} $:
$$ |\log_5 (m + 4) - \log_5 m| = \frac{1}{2} $$
- Ta có thể viết lại phương trình này thành:
$$ \log_5 \left( \frac{m + 4}{m} \right) = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad \log_5 \left( \frac{m}{m + 4} \right) = \frac{1}{2} $$

Bước 4: Giải phương trình logarit.
- Trường hợp 1:
$$ \log_5 \left( \frac{m + 4}{m} \right) = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{m + 4}{m} = 5^{\frac{1}{2}} $$
$$ \frac{m + 4}{m} = \sqrt{5} $$
$$ m + 4 = m \sqrt{5} $$
$$ m \sqrt{5} - m = 4 $$
$$ m (\sqrt{5} - 1) = 4 $$
$$ m = \frac{4}{\sqrt{5} - 1} $$
$$ m = \frac{4 (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} $$
$$ m = \frac{4 (\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} $$
$$ m = \frac{4 (\sqrt{5} + 1)}{4} $$
$$ m = \sqrt{5} + 1 $$

- Trường hợp 2:
$$ \log_5 \left( \frac{m}{m + 4} \right) = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{m}{m + 4} = 5^{\frac{1}{2}} $$
$$ \frac{m}{m + 4} = \sqrt{5} $$
$$ m = m \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} $$
$$ m - m \sqrt{5} = 4 \sqrt{5} $$
$$ m (1 - \sqrt{5}) = 4 \sqrt{5} $$
$$ m = \frac{4 \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} $$
$$ m = \frac{4 \sqrt{5} (1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} $$
$$ m = \frac{4 \sqrt{5} (1 + \sqrt{5})}{1 - 5} $$
$$ m = \frac{4 \sqrt{5} (1 + \sqrt{5})}{-4} $$
$$ m = -\sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) $$
$$ m = -\sqrt{5} - 5 $$

Do $ m $ phải là số dương, nên ta chọn trường hợp 1:
$$ m = \sqrt{5} + 1 $$

Bước 5: Tìm tổng a + b.
- Ta có $ m = a + \sqrt{b} $, trong đó $ a = 1 $ và $ b = 5 $.
- Vậy tổng $ a + b = 1 + 5 = 6 $.

Đáp án cuối cùng:
$$ a + b = 6 $$