Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4 và chiều cao bằng 6.

1, Tính d(A,(SBC))

2, Tính số đo góc nhị diện [ A,SB,C ] ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )

Question

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4 và chiều cao bằng 6.

1, Tính d(A,(SBC))

2, Tính số đo góc nhị diện [ A,SB,C ]  ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC) $.

Bước 1: Xác định tâm và bán kính đáy.

Hình chóp đều $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông $ ABCD $ với cạnh bằng 4. Tâm của hình vuông $ ABCD $ là $ O $, và $ O $ cũng là chân đường cao từ $ S $ xuống đáy. Do đó, $ SO = 6 $.

Bước 2: Tính tọa độ các điểm.

Giả sử $ O $ là gốc tọa độ $ (0, 0, 0) $, các điểm $ A, B, C, D $ lần lượt có tọa độ:
- $ A(-2, -2, 0) $
- $ B(2, -2, 0) $
- $ C(2, 2, 0) $
- $ D(-2, 2, 0) $

Điểm $ S $ có tọa độ $ (0, 0, 6) $.

Bước 3: Xác định mặt phẳng $ (SBC) $.

Mặt phẳng $ (SBC) $ đi qua các điểm $ S(0, 0, 6) $, $ B(2, -2, 0) $, $ C(2, 2, 0) $.

Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (SBC) $ bằng cách lấy tích có hướng của hai vector $ \overrightarrow{SB} $ và $ \overrightarrow{SC} $:
- $ \overrightarrow{SB} = (2, -2, -6) $
- $ \overrightarrow{SC} = (2, 2, -6) $

Tích có hướng:
$$
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & -2 & -6 \
2 & 2 & -6 \
\end{vmatrix} = (24, 0, 8)
$$

Phương trình mặt phẳng $ (SBC) $ là:
$$
24x + 0y + 8z = d
$$
Thay tọa độ điểm $ S(0, 0, 6) $ vào phương trình trên:
$$
24 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 8 \cdot 6 = d \Rightarrow d = 48
$$
Vậy phương trình mặt phẳng là:
$$
3x + z = 6
$$

Bước 4: Tính khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (SBC) $.

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
$$
d(A, (SBC)) = \frac{|3(-2) + 0 \cdot (-2) + 0 - 6|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{| -6 - 6 |}{\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{6\sqrt{10}}{5}
$$

2. Tính số đo góc nhị diện $ [A, SB, C] $.

Góc nhị diện $ [A, SB, C] $ là góc giữa hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SBC) $.

Bước 1: Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (SAB) $.

Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (SAB) $ bằng cách lấy tích có hướng của hai vector $ \overrightarrow{SA} $ và $ \overrightarrow{SB} $:
- $ \overrightarrow{SA} = (-2, -2, -6) $

Tích có hướng:
$$
\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-2 & -2 & -6 \
2 & -2 & -6 \
\end{vmatrix} = (24, -24, 8)
$$

Bước 2: Tính góc giữa hai vector pháp tuyến.

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vector pháp tuyến của chúng:
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n}}{\|\overrightarrow{n_1}\| \cdot \|\overrightarrow{n}\|}
$$

Tính tích vô hướng:
$$
\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n} = (24, -24, 8) \cdot (24, 0, 8) = 576 + 0 + 64 = 640
$$

Tính độ dài các vector:
$$
\|\overrightarrow{n_1}\| = \sqrt{24^2 + (-24)^2 + 8^2} = \sqrt{1152 + 64} = \sqrt{1216}
$$
$$
\|\overrightarrow{n}\| = \sqrt{24^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{640}
$$

Tính $ \cos \theta $:
$$
\cos \theta = \frac{640}{\sqrt{1216} \cdot \sqrt{640}} = \frac{640}{\sqrt{1216 \times 640}}
$$

Tính góc $ \theta $:
$$
\theta = \arccos\left(\frac{640}{\sqrt{1216 \times 640}}\right)
$$

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta có:
$$
\theta \approx 45^\circ
$$

Vậy số đo góc nhị diện $ [A, SB, C] $ là $ 45^\circ $.