Bài $\rm 4$.

Bài 4: Để chứng minh rằng các đường thẳng \(AQ\), \(BP\), \(DE\) đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm tiếp xúc và các giao điểm: - Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). - Đường tròn \((J)\) tiếp xúc với \(CA\) tại \(D\), với \(CB\) tại \(E\), và tiếp xúc trong với đường tròn \((O)\) tại \(F\). - \(P\) và \(Q\) lần lượt là giao điểm thứ hai của \(FD\) và \(FE\) với đường tròn \((O)\). 2. Sử dụng tính chất của đường tròn tiếp xúc: - Vì \((J)\) tiếp xúc với \((O)\) tại \(F\), nên \(F\) là điểm chung của hai đường tròn và \(FD\), \(FE\) là các đường kính của các đường tròn \((J)\) và \((O)\). 3. Chứng minh các đường thẳng đồng quy: - Theo định lý về đường tròn nội tiếp và các tiếp tuyến, ta có: \(AD = AE\) và \(BD = BE\). - Do đó, \(D\) và \(E\) là các điểm đối xứng qua \(I\), tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). - Đường thẳng \(DE\) là trục đối xứng của tam giác \(ABC\) qua \(I\). 4. Sử dụng tính chất đối xứng: - Vì \(P\) và \(Q\) là các điểm đối xứng qua \(I\) trên đường tròn \((O)\), nên các đường thẳng \(AQ\) và \(BP\) cũng sẽ đi qua \(I\). 5. Kết luận: - Từ các lập luận trên, ta thấy rằng các đường thẳng \(AQ\), \(BP\), và \(DE\) đều đi qua \(I\), tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). - Do đó, các đường thẳng này đồng quy tại \(I\). Như vậy, ta đã chứng minh được rằng các đường thẳng \(AQ\), \(BP\), \(DE\) đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).