Câu $\rm 1$.

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Hàm số đã cho là \( y = -x^2 + 2(m+1)x + 1 - m^2 \). Để đồ thị hàm số cắt trục hoành, ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm: \[ -x^2 + 2(m+1)x + 1 - m^2 = 0 \] Phương trình này có dạng: \[ -x^2 + 2(m+1)x + (1 - m^2) = 0 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là: \[ \Delta > 0 \] Với \(\Delta\) là biệt thức của phương trình bậc hai: \[ \Delta = [2(m+1)]^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (1 - m^2) \] \[ = 4(m+1)^2 + 4(1 - m^2) \] \[ = 4(m^2 + 2m + 1) + 4 - 4m^2 \] \[ = 8m + 8 \] Để \(\Delta > 0\), ta có: \[ 8m + 8 > 0 \Rightarrow 8m > -8 \Rightarrow m > -1 \] Bước 2: Điều kiện để tam giác KAB vuông tại K. Giả sử \(A(x_1, 0)\) và \(B(x_2, 0)\) là hai điểm mà đồ thị cắt trục hoành. Khi đó, \(x_1\) và \(x_2\) là nghiệm của phương trình: \[ -x^2 + 2(m+1)x + 1 - m^2 = 0 \] Tam giác \(KAB\) vuông tại \(K(2, -2)\) khi và chỉ khi: \[ KA^2 + KB^2 = AB^2 \] Tính các độ dài: \[ KA^2 = (x_1 - 2)^2 + (-2)^2 = (x_1 - 2)^2 + 4 \] \[ KB^2 = (x_2 - 2)^2 + (-2)^2 = (x_2 - 2)^2 + 4 \] \[ AB^2 = (x_2 - x_1)^2 \] Điều kiện vuông góc: \[ (x_1 - 2)^2 + 4 + (x_2 - 2)^2 + 4 = (x_2 - x_1)^2 \] \[ (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + 8 = (x_2 - x_1)^2 \] Sử dụng tính chất của nghiệm phương trình bậc hai: \[ x_1 + x_2 = 2(m+1) \] \[ x_1x_2 = 1 - m^2 \] Thay vào điều kiện vuông góc: \[ (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + 8 = (x_2 - x_1)^2 \] \[ (x_1^2 - 4x_1 + 4) + (x_2^2 - 4x_2 + 4) + 8 = x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 - 4x_1 - 4x_2 + 16 = x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2 \] \[ -4x_1 - 4x_2 + 16 = -2x_1x_2 \] \[ 4(x_1 + x_2) - 16 = 2x_1x_2 \] \[ 4(2(m+1)) - 16 = 2(1 - m^2) \] \[ 8(m+1) - 8 = 2 - 2m^2 \] \[ 8m + 8 - 8 = 2 - 2m^2 \] \[ 8m = 2 - 2m^2 \] \[ 2m^2 + 8m - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 + 4m - 1 = 0 \] \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20 \] \[ m = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} \] \[ m = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} \] \[ m = -2 \pm \sqrt{5} \] Kết hợp với điều kiện \(m > -1\), ta chọn \(m = -2 + \sqrt{5}\). Vậy giá trị của \(m\) để thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = -2 + \sqrt{5}\).