Tính giá trị T. Câu 15: Cho $\ln x=2.$ Giá trị biểu thức $T=2\ln\sqrt{ex}-\ln\frac{e^2}{\sqrt x}+\ln3.\log_3(ex^2)$ bằng

Question

Accepted Answer

Câu 15:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và các phép biến đổi đại số cơ bản. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. Biến đổi từng phần của biểu thức $ T $:

- Phần thứ nhất: $ 2\ln\sqrt{ex} $
     $$
     2\ln\sqrt{ex} = 2\ln(e^{1/2}x^{1/2}) = 2\left(\frac{1}{2}\ln e + \frac{1}{2}\ln x\right) = 2\left(\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2\right) = 2\left(\frac{1}{2} + 1\right) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3
     $$

- Phần thứ hai: $ -\ln\frac{e^2}{\sqrt{x}} $
     $$
     -\ln\frac{e^2}{\sqrt{x}} = -\ln\left(e^2 \cdot x^{-1/2}\right) = -\left(\ln e^2 + \ln x^{-1/2}\right) = -\left(2\ln e - \frac{1}{2}\ln x\right) = -\left(2 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 2\right) = -\left(2 - 1\right) = -1
     $$

- Phần thứ ba: $ \ln 3 \cdot \log_3(ex^2) $
     $$
     \ln 3 \cdot \log_3(ex^2) = \ln 3 \cdot \left(\log_3 e + \log_3 x^2\right) = \ln 3 \cdot \left(\log_3 e + 2\log_3 x\right)
     $$
     Ta biết rằng $ \log_3 e = \frac{\ln e}{\ln 3} = \frac{1}{\ln 3} $ và $ \log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3} $. Do đó:
     $$
     \ln 3 \cdot \left(\frac{1}{\ln 3} + 2 \cdot \frac{2}{\ln 3}\right) = \ln 3 \cdot \left(\frac{1 + 4}{\ln 3}\right) = \ln 3 \cdot \frac{5}{\ln 3} = 5
     $$

2. Tổng hợp các phần đã biến đổi:
   $$
   T = 3 - 1 + 5 = 7
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $ T $ là $ 7 $.

Đáp án: $ \boxed{7} $