Giup mok voi

Câu 12: Để hàm số \( y = -x^3 - mx^2 + (4m + 9)x + 5 \) nghịch biến trên toàn bộ miền xác định \( (-\infty; +\infty) \), đạo hàm của nó phải luôn âm trên toàn bộ miền này. Bước 1: Tính đạo hàm của \( y \): \[ y' = -3x^2 - 2mx + (4m + 9) \] Bước 2: Hàm số \( y \) nghịch biến trên \( (-\infty; +\infty) \) nếu \( y' < 0 \) với mọi \( x \). Bước 3: Để \( y' < 0 \) với mọi \( x \), đồ thị của \( y' \) phải nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Điều này xảy ra khi \( y' \) có biệt số \( \Delta \) âm và hệ số của \( x^2 \) âm. - Hệ số của \( x^2 \) trong \( y' \) là \(-3\), đã âm. - Tính biệt số \( \Delta \) của \( y' \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(-3)(4m + 9) \] \[ \Delta = 4m^2 + 12(4m + 9) \] \[ \Delta = 4m^2 + 48m + 108 \] Bước 4: Yêu cầu \( \Delta < 0 \): \[ 4m^2 + 48m + 108 < 0 \] \[ m^2 + 12m + 27 < 0 \] Bước 5: Giải bất phương trình bậc hai: \[ m^2 + 12m + 27 < 0 \] Tìm nghiệm của phương trình \( m^2 + 12m + 27 = 0 \): \[ m = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2} \] \[ m = \frac{-12 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ m = \frac{-12 \pm 6}{2} \] \[ m = -9 \quad \text{hoặc} \quad m = -3 \] Bước 6: Biểu diễn khoảng nghiệm: \[ -9 < m < -3 \] Bước 7: Tìm các giá trị nguyên \( m \) trong khoảng này: \[ m = -8, -7, -6, -5, -4 \] Bước 8: Đếm số lượng giá trị nguyên \( m \): Có 5 giá trị nguyên \( m \) thỏa mãn điều kiện. Do đó, đáp án đúng là: A. 5 Câu 1: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x - 1 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x - 1\right) \] \[ y' = x^2 - 4x + 3 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( y' \). Đặt \( y' = 0 \): \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Bước 3: Xét dấu của \( y' \) trong các khoảng \( (-\infty; 1) \), \( (1; 3) \), và \( (3; +\infty) \). - Khoảng \( (-\infty; 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trong khoảng \( (-\infty; 1) \), hàm số đồng biến. - Khoảng \( (1; 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \] Vậy \( y' < 0 \) trong khoảng \( (1; 3) \), hàm số nghịch biến. - Khoảng \( (3; +\infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ y'(4) = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trong khoảng \( (3; +\infty) \), hàm số đồng biến. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty; 1) \) và \( (3; +\infty) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1; 3) \). Do đó, đáp án đúng là: d) Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty; 1) \) và \( (3; +\infty) \). Câu 2: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích đồ thị hàm số \( y = f(x) \). a) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \( x_1 \): Quan sát đồ thị, giá trị lớn nhất của hàm số là giá trị cao nhất mà đồ thị đạt được. Tại \( x_1 \), đồ thị không đạt giá trị cao nhất, vì có điểm khác cao hơn. Do đó, mệnh đề này sai. b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \( x_2 \): Giá trị nhỏ nhất là giá trị thấp nhất mà đồ thị đạt được. Tại \( x_2 \), đồ thị không đạt giá trị thấp nhất, vì có điểm khác thấp hơn. Do đó, mệnh đề này sai. c) Hàm số đạt cực đại tại điểm \( x_b \): Điểm cực đại là điểm mà hàm số chuyển từ tăng sang giảm. Quan sát đồ thị, tại \( x_b \), hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó đây là điểm cực đại. Mệnh đề này đúng. d) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \( x_i \) và \( x_1 \): Điểm cực tiểu là điểm mà hàm số chuyển từ giảm sang tăng. Quan sát đồ thị, tại \( x_i \), hàm số chuyển từ giảm sang tăng, nên đây là điểm cực tiểu. Tuy nhiên, tại \( x_1 \), hàm số không chuyển từ giảm sang tăng, nên không phải là điểm cực tiểu. Mệnh đề này sai. Tóm lại: - a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Câu 3: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích đồ thị của hàm số bậc ba \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). a) \( a > 0 \) - Đồ thị hàm bậc ba có dạng đi từ dưới lên trên (từ góc phần tư thứ ba sang góc phần tư thứ nhất), cho thấy hệ số \( a \) dương. - Kết luận: Mệnh đề a) đúng. b) \( b < 0 \) - Đồ thị có hai điểm cực trị, điều này cho thấy đạo hàm bậc hai của hàm số có hai nghiệm phân biệt. Đạo hàm bậc hai là \( f''(x) = 6ax + 2b \). - Để có hai nghiệm phân biệt, phương trình \( 6ax + 2b = 0 \) phải có hai nghiệm, tức là \( b < 0 \) khi \( a > 0 \). - Kết luận: Mệnh đề b) đúng. c) \( c > 0 \) - Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm, điều này cho thấy phương trình \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) có ba nghiệm thực phân biệt. - Hệ số \( c \) ảnh hưởng đến độ dốc của đồ thị tại gốc tọa độ. Để đồ thị có dạng như hình vẽ, \( c \) có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào vị trí của các điểm cực trị. - Kết luận: Không đủ thông tin để khẳng định mệnh đề c) đúng hay sai. d) \( d < 0 \) - Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, điều này cho thấy \( d < 0 \). - Kết luận: Mệnh đề d) đúng. Tóm lại, các mệnh đề đúng là a), b), và d). Câu 1: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = \frac{x}{x-1} \) tại điểm có hoành độ bằng 2, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính giá trị của hàm số tại \( x = 2 \). Thay \( x = 2 \) vào hàm số \( y = \frac{x}{x-1} \), ta có: \[ y = \frac{2}{2-1} = 2 \] Vậy điểm có hoành độ bằng 2 trên đồ thị là \( (2, 2) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x}{x-1} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ y' = \frac{(x-1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} \] Bước 3: Tính đạo hàm tại \( x = 2 \). Thay \( x = 2 \) vào biểu thức đạo hàm, ta có: \[ y'(2) = \frac{-1}{(2-1)^2} = -1 \] Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( (2, 2) \) có dạng: \[ y - 2 = -1(x - 2) \] Rút gọn phương trình trên, ta được: \[ y - 2 = -x + 2 \] \[ y = -x + 4 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là \( y = -x + 4 \), trong đó \( a = -1 \) và \( b = 4 \). Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \( S = 4a - 5b \). Thay \( a = -1 \) và \( b = 4 \) vào biểu thức \( S \), ta có: \[ S = 4(-1) - 5(4) = -4 - 20 = -24 \] Vậy giá trị của biểu thức \( S = 4a - 5b \) là \(-24\). Câu 2: Để tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 2}{x - 4} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( x - 4 = 0 \). - Giải phương trình này, ta có \( x = 4 \). - Vậy đường tiệm cận đứng là \( x = 4 \). Do đó, \( a = 4 \). 2. Tìm đường tiệm cận ngang: - Để tìm đường tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). - Ta có: \[ y = \frac{3x + 2}{x - 4} \] - Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ y = \frac{3 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{4}{x}} \] - Khi \( x \to \pm \infty \), các hạng tử \(\frac{2}{x}\) và \(\frac{4}{x}\) sẽ tiến về 0. - Do đó, giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \) là: \[ y = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3 \] - Vậy đường tiệm cận ngang là \( y = 3 \). Do đó, \( b = 3 \). 3. Tính giá trị của biểu thức \( C = 5a + 6b \): - Thay \( a = 4 \) và \( b = 3 \) vào biểu thức \( C \): \[ C = 5(4) + 6(3) \] - Tính toán: \[ C = 20 + 18 = 38 \] Vậy giá trị của biểu thức \( C \) là \( 38 \). Câu 3: Để tìm lợi nhuận trung bình tối đa, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận trung bình $\overline{P}(x)$. Bước 1: Tìm biểu thức của hàm lợi nhuận trung bình: $\overline{P}(x) = \frac{R(x) - C(x)}{x}$ Thay các hàm chi phí và doanh thu vào: $\overline{P}(x) = \frac{75,5x - (25,5x + 1000)}{x}$ $\overline{P}(x) = \frac{75,5x - 25,5x - 1000}{x}$ $\overline{P}(x) = \frac{50x - 1000}{x}$ $\overline{P}(x) = 50 - \frac{1000}{x}$ Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm $\overline{P}(x)$. Để tìm giá trị lớn nhất của $\overline{P}(x)$, ta cần xét sự thay đổi của hàm này khi $x$ tăng lên. Ta thấy rằng khi $x$ tăng, $\frac{1000}{x}$ giảm, do đó $50 - \frac{1000}{x}$ tăng. Do đó, hàm $\overline{P}(x)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất khi $x$ lớn nhất. Tuy nhiên, vì $x$ là số đơn vị sản phẩm được sản xuất và bán ra, nên $x$ phải là một số dương. Khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \infty$), $\frac{1000}{x}$ tiến về 0, do đó $\overline{P}(x)$ tiến về 50. Vậy, lợi nhuận trung bình tối đa là 50 triệu đồng. Đáp án: Lợi nhuận trung bình không vượt quá 50 triệu đồng. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tối ưu hóa diện tích bề mặt của bể chứa nước để số viên gạch sử dụng là ít nhất. Bể có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn và điều kiện: Gọi \( x \) là chiều dài cạnh đáy của bể (m), và \( h \) là chiều cao của bể (m). Vì đáy là hình vuông nên diện tích đáy là \( x^2 \). 2. Tính thể tích bể: Thể tích của bể là \( V = x^2 \cdot h \). Theo đề bài, thể tích này bằng \( 108 \, m^3 \), do đó ta có phương trình: \[ x^2 \cdot h = 108 \] Từ đó, ta suy ra: \[ h = \frac{108}{x^2} \] 3. Tính diện tích bề mặt cần xây: Diện tích bề mặt cần xây bao gồm diện tích đáy và diện tích bốn mặt bên. Diện tích đáy là \( x^2 \). Diện tích bốn mặt bên là \( 4 \cdot x \cdot h \). Vậy tổng diện tích bề mặt cần xây là: \[ S = x^2 + 4xh \] Thay \( h = \frac{108}{x^2} \) vào biểu thức trên, ta được: \[ S = x^2 + 4x \cdot \frac{108}{x^2} = x^2 + \frac{432}{x} \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích bề mặt: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta cần tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của \( S \) là: \[ S' = 2x - \frac{432}{x^2} \] Giải phương trình \( S' = 0 \): \[ 2x - \frac{432}{x^2} = 0 \] \[ 2x^3 = 432 \] \[ x^3 = 216 \] \[ x = \sqrt[3]{216} = 6 \] 5. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất: Ta cần kiểm tra xem \( x = 6 \) có phải là điểm cực tiểu của \( S \) hay không. Xét dấu của \( S' \) trước và sau \( x = 6 \): - Với \( x < 6 \), \( S' < 0 \) (vì \( 2x < \frac{432}{x^2} \)). - Với \( x > 6 \), \( S' > 0 \) (vì \( 2x > \frac{432}{x^2} \)). Do đó, \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 6 \). 6. Tính chiều cao \( h \): Thay \( x = 6 \) vào phương trình \( h = \frac{108}{x^2} \): \[ h = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3 \] Vậy, chiều dài cạnh đáy của bể là \( 6 \, m \) và chiều cao của bể là \( 3 \, m \) để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất.