Số phần tử của S? Câu 5: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số,$y=|\sin^4x+\cos2x+m|$ bằng 2. Số phần tử của S là

Question

Accepted Answer

Câu 5:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = |\sin^4 x + \cos 2x + m| $ bằng 2, ta cần tìm các giá trị của tham số $ m $ sao cho giá trị nhỏ nhất của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối đạt được 2 hoặc -2.

Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ \sin^4 x + \cos 2x $.

Ta biết rằng:
$$ \sin^4 x = (\sin^2 x)^2 $$
và 
$$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1. $$

Do đó, ta có:
$$ \sin^4 x + \cos 2x = (\sin^2 x)^2 + 2\cos^2 x - 1. $$

Bước 2: Đặt $ t = \sin^2 x $. Ta có $ 0 \leq t \leq 1 $ và $ \cos^2 x = 1 - t $.

Thay vào biểu thức trên, ta được:
$$ \sin^4 x + \cos 2x = t^2 + 2(1 - t) - 1 = t^2 - 2t + 1. $$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ t^2 - 2t + 1 $ trong khoảng $ 0 \leq t \leq 1 $.

Biểu thức $ t^2 - 2t + 1 $ là một hàm bậc hai với đỉnh tại $ t = 1 $. Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức này trong khoảng $ 0 \leq t \leq 1 $ là:
$$ t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2. $$

Giá trị nhỏ nhất của $ (t - 1)^2 $ là 0 khi $ t = 1 $.

Bước 4: Để giá trị nhỏ nhất của $ y = |\sin^4 x + \cos 2x + m| $ bằng 2, ta cần:
$$ |\sin^4 x + \cos 2x + m| = 2. $$

Do đó, ta có:
$$ \sin^4 x + \cos 2x + m = 2 \quad \text{hoặc} \quad \sin^4 x + \cos 2x + m = -2. $$

Bước 5: Giải các phương trình trên để tìm $ m $.

- Nếu $ \sin^4 x + \cos 2x + m = 2 $:
$$ m = 2 - (\sin^4 x + \cos 2x). $$
Do $ \sin^4 x + \cos 2x $ có giá trị nhỏ nhất là 0, ta có:
$$ m = 2 - 0 = 2. $$

- Nếu $ \sin^4 x + \cos 2x + m = -2 $:
$$ m = -2 - (\sin^4 x + \cos 2x). $$
Do $ \sin^4 x + \cos 2x $ có giá trị nhỏ nhất là 0, ta có:
$$ m = -2 - 0 = -2. $$

Bước 6: Kết luận.

Các giá trị của $ m $ là $ m = 2 $ và $ m = -2 $. Vậy tập hợp $ S $ có 2 phần tử.

Đáp án: Số phần tử của $ S $ là 2.