giảiem ahccg

Câu 11: a) Ta có M là trung điểm của BC, E là trung điểm của AC nên ME là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ME song song với AB và ME = $\frac{1}{2}$AB. F là điểm đối xứng với M qua E, do đó EF = EM và EF song song với ME. Từ đó ta có EF song song với AB và EF = $\frac{1}{2}$AB. Vậy tứ giác AMCF có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, tức là AM song song với CF và AM = CF. Do đó, tứ giác AMCF là hình bình hành. b) Ta đã biết tứ giác AMCF là hình bình hành. Xét tam giác AMB và tam giác CFB: - AM = CF (vì AMCF là hình bình hành) - AB = CB (vì tam giác ABC cân tại A) - MB = FB (vì F là điểm đối xứng với M qua E) Do đó, tam giác AMB và tam giác CFB bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh). Từ đó ta có góc BAM = góc BCF. Vì AMCF là hình bình hành nên góc BAM = góc MCF (hai góc so le trong). Do đó, góc MCF = góc BCF, tức là góc MCF là góc vuông. Vậy tứ giác AFMB có một góc vuông, tức là AFMB là hình chữ nhật. c) Để tứ giác AMCF là hình vuông, ta cần thêm điều kiện góc MAC = 45°. Khi đó, tam giác AMC sẽ là tam giác vuông cân tại M, tức là AM = MC và góc MAC = 45°. Vậy tam giác cân ABC cần điều kiện góc BAC = 90° để tứ giác AMCF là hình vuông. Đáp số: a) Tứ giác AMCF là hình bình hành. b) Tứ giác AFMB là hình chữ nhật. c) Điều kiện: góc BAC = 90°. Câu 12: Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình bình hành ABCD có \( AB = 2AD \). Điều này có nghĩa là cạnh AB gấp đôi cạnh AD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Do đó, ta có: - \( AE = EB = \frac{AB}{2} \) - \( CF = FD = \frac{CD}{2} \) Vì ABCD là hình bình hành, nên \( AB = CD \) và \( AD = BC \). Do đó, ta có: - \( AE = EB = \frac{AB}{2} = \frac{CD}{2} = CF = FD \) Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình thang cân. 1. Ta đã biết \( AE = FD \) (vì \( AE = EB = \frac{AB}{2} \) và \( CF = FD = \frac{CD}{2} \)). 2. Vì ABCD là hình bình hành, nên \( AD \parallel BC \) và \( AB \parallel CD \). Do đó, \( AD \parallel EF \) (vì \( EF \) là đường thẳng nối trung điểm của \( AB \) và \( CD \)). 3. Ta cần chứng minh rằng \( \angle DAE = \angle AFD \). - Vì \( AE = EB \) và \( CF = FD \), ta có \( \triangle AEB \) và \( \triangle CFD \) là các tam giác cân tại E và F. - Do đó, \( \angle AEB = \angle CFD \). - Vì \( AB \parallel CD \), ta có \( \angle AEB = \angle CFD \) (góc so le trong). - Do đó, \( \angle DAE = \angle AFD \) (góc so le trong). Từ các bước trên, ta thấy rằng tứ giác AEDF có hai đáy song song (\( AD \parallel EF \)) và hai góc ở đáy bằng nhau (\( \angle DAE = \angle AFD \)). Do đó, tứ giác AEDF là hình thang cân. Đáp số: Tứ giác AEDF là hình thang cân.