cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm ngoài đường tròn .Qua A vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O) (B,c là tiếp điểm).Oa cắt BC tại M. a/ Vẽ hình B/ chứng minh OA vuông góc với BC tại M C/ Giả sử OA = 2R.Tín...

a. 

b. Do AC, AB là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên
$\displaystyle AC=AB\Rightarrow $A nằm trên đường trung trực của BC (1)
Do B, C cùng thuộc đường tròn (O) nên 
$\displaystyle OB=OC\Rightarrow $O nằm trên đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) $\displaystyle \Rightarrow $OA là đường trung trực của BC
$\displaystyle \Rightarrow OA\perp BC$
Mà OA và BC cắt nhau tại M
$\displaystyle \Rightarrow OA\perp BC$ tại M
c. Do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C nên 
$\displaystyle OC\perp AC\Rightarrow \widehat{OCA} =90^{0}$
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên 
$\displaystyle OB\perp AB\Rightarrow \widehat{OBA} =90^{0}$
Xét tứ giác OBAC có $\displaystyle \widehat{OCA} +\widehat{OBA} =90^{0} +90^{0} =180^{0}$
Mà $\displaystyle \widehat{OCA} ,\widehat{OBA}$ nằm ở vị trí đối diện nhau
$\displaystyle \Rightarrow $Tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{CAB} =\frac{1}{2} \ sđ\ \hat{BC} \Rightarrow sđ\ \hat{BC} =2\ \widehat{CAB}$
Do $\displaystyle \vartriangle ABO$ vuông tại B nên $\displaystyle \sin\widehat{BAO} =\frac{BO}{AO} =\frac{R}{2R} =\frac{1}{2}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BAO} =30^{0}$
Do $\displaystyle \vartriangle ACO$ vuông tại C nên $\displaystyle \sin\widehat{CAO} =\frac{CO}{AO} =\frac{R}{2R} =\frac{1}{2}$
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{CAO} =30^{0}$
Do đó $\displaystyle \widehat{CAB} =\widehat{CAO} +\widehat{BAO} =30^{0} +30^{0} =60^{0}$
$\displaystyle \Rightarrow \ sđ\ \hat{CB} =2\times 60^{0} =120^{0}$
d. Ta có $\displaystyle \widehat{ACF} =\widehat{CEF} \ $(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CF)
Xét $\displaystyle \vartriangle AFC$ và $\displaystyle \vartriangle ACE$ có
chung $\displaystyle \widehat{CAE} ,\ \widehat{ACF} =\widehat{AEC}$
Suy ra $\displaystyle \vartriangle AFC\ \backsim \ \vartriangle ACE$ (góc - góc)
$\displaystyle \Rightarrow \frac{AF}{AC} =\frac{AC}{AE} \Rightarrow AC^{2} =AF\times AE$ (3)
Xét $\displaystyle \vartriangle ACO$ vuông tại C có $\displaystyle CM\perp AO$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
$\displaystyle AC^{2} =AM\times AO$ (4)
Từ (3) và (4) $\displaystyle \Rightarrow AF\times AE=AM\times AO$