Giúp em vơia

Câu 11. Trước tiên, ta xét các thông tin đã cho: - \(a \subset (P)\) và \(b \subset (P)\) - \(a\) và \(b\) cắt nhau - \(a // (Q)\) và \(b // (Q)\) Bây giờ, ta sẽ phân tích từng mệnh đề: A. \((P) \equiv (Q)\): - Nếu \((P) \equiv (Q)\), thì hai mặt phẳng này trùng nhau hoàn toàn. Điều này có nghĩa là mọi đường thẳng nằm trong \((P)\) cũng nằm trong \((Q)\) và ngược lại. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta chỉ biết rằng \(a\) và \(b\) song song với \((Q)\), không đủ để kết luận \((P)\) và \((Q)\) trùng nhau. Do đó, mệnh đề này chưa chắc chắn. B. \((P) // (Q)\): - Nếu \((P) // (Q)\), thì hai mặt phẳng này song song với nhau. Điều này có nghĩa là không có điểm chung nào giữa hai mặt phẳng này. Từ thông tin đã cho, ta biết rằng \(a\) và \(b\) đều song song với \((Q)\). Vì \(a\) và \(b\) cắt nhau và cả hai đều nằm trong \((P)\), nên \((P)\) phải song song với \((Q)\). Do đó, mệnh đề này là đúng. C. \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau: - Nếu \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau, thì chúng có một đường thẳng chung. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta biết rằng \(a\) và \(b\) đều song song với \((Q)\). Điều này không cho phép \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau. Do đó, mệnh đề này là sai. D. \((Q) // (R)\) hoặc \((Q) \equiv (R)\): - Mệnh đề này không liên quan đến thông tin đã cho vì không có mặt phẳng \(R\) nào được đề cập. Do đó, mệnh đề này không thể là đáp án đúng. Từ phân tích trên, ta thấy rằng mệnh đề đúng là: B. \((P) // (Q)\). Đáp án: B. \((P) // (Q)\). Câu 12. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Điều này có nghĩa là các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành, nên O là trung điểm của cả AC và BD. Bây giờ, ta xét hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của SC và SD. Ta sẽ chứng minh rằng MN song song với BD. Ta có: - M là trung điểm của SC, tức là SM = MC. - N là trung điểm của SD, tức là SN = ND. Theo định lý trung tuyến trong tam giác, trong tam giác SCD, đường thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh (ở đây là M và N) sẽ song song với cạnh còn lại (ở đây là CD). Do đó, MN song song với CD. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem MN có thể song song với các mặt phẳng nào khác không. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: A. MN // (SBD): - Để MN song song với (SBD), MN phải song song với BD hoặc nằm trong mặt phẳng (SBD). Nhưng MN chỉ song song với CD, không phải BD, nên MN không thể song song với (SBD). B. MN // (SAB): - Để MN song song với (SAB), MN phải song song với AB hoặc nằm trong mặt phẳng (SAB). Nhưng MN chỉ song song với CD, không phải AB, nên MN không thể song song với (SAB). C. MN // (SAC): - Để MN song song với (SAC), MN phải song song với AC hoặc nằm trong mặt phẳng (SAC). Nhưng MN chỉ song song với CD, không phải AC, nên MN không thể song song với (SAC). D. MN // (SCD): - Để MN song song với (SCD), MN phải song song với CD hoặc nằm trong mặt phẳng (SCD). MN song song với CD, nên MN song song với (SCD). Vậy mệnh đề đúng là: D. MN // (SCD) Đáp án: D. MN // (SCD) Câu 1. a) Khẳng định sai vì $v_n=2n+1$ là dãy số tăng không giới hạn nên $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=+\infty.$ b) Ta có $u_n=\sqrt{4n^2+5n+1}>\sqrt{4n^2}=2n$. Dãy số $(2n)$ là dãy số tăng không giới hạn nên $\lim_{n\rightarrow+\infty}2n=+\infty$. Do đó $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty.$ c) Khẳng định sai vì $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$ và $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=+\infty$ nên $\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n+v_n)=+\infty.$ d) Ta có: $\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n-v_n)=\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{4n^2+5n+1}-(2n+1))$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{4n^2+5n+1}-(2n+1))(\sqrt{4n^2+5n+1}+(2n+1))}{\sqrt{4n^2+5n+1}+(2n+1)}$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4n^2+5n+1-(2n+1)^2}{\sqrt{4n^2+5n+1}+(2n+1)}$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4n^2+5n+1-4n^2-4n-1}{\sqrt{4n^2+5n+1}+(2n+1)}$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{\sqrt{4n^2+5n+1}+(2n+1)}$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{4+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}+(2+\frac{1}{n})}=\frac{1}{4}.$ Vậy khẳng định đúng. Câu 2. a) Ta có: \[ f(x) = x \cdot \frac{2x^2 - x}{x - 1} \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \left( x \cdot \frac{2x^2 - x}{x - 1} \right) \] Thay \( x = 2 \): \[ f(2) = 2 \cdot \frac{2(2)^2 - 2}{2 - 1} = 2 \cdot \frac{8 - 2}{1} = 2 \cdot 6 = 12 \] Vậy mệnh đề a) sai vì \( \lim_{x \to 2} f(x) = 12 \). b) Ta có: \[ g(x) = x \sqrt{x + 5} \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} \left( x \sqrt{x + 5} \right) \] Thay \( x = 1 \): \[ g(1) = 1 \cdot \sqrt{1 + 5} = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6} \] Vậy mệnh đề b) sai vì \( \lim_{x \to 1} g(x) = \sqrt{6} \). c) Ta có: \[ f(x) = x \cdot \frac{2x^2 - x}{x - 1} \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \left( x \cdot \frac{2x^2 - x}{x - 1} \right) \] Khi \( x \to 1 \), ta thấy mẫu số \( x - 1 \to 0 \). Ta xét giới hạn hai bên: - Khi \( x \to 1^+ \): \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left( x \cdot \frac{2x^2 - x}{x - 1} \right) = +\infty \] - Khi \( x \to 1^- \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( x \cdot \frac{2x^2 - x}{x - 1} \right) = -\infty \] Vậy mệnh đề c) sai vì \( \lim_{x \to 1} f(x) \) không tồn tại. d) Ta có: \[ f(x) = x \cdot \frac{2x^2 - x}{x - 1} \] \[ g(x) = x \sqrt{x + 5} \] Tính giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to 1} \left( x \cdot \frac{2x^2 - x}{x - 1} + x \sqrt{x + 5} \right) \] Khi \( x \to 1 \), ta thấy: \[ \lim_{x \to 1} f(x) \text{ không tồn tại} \] \[ \lim_{x \to 1} g(x) = \sqrt{6} \] Do đó, \( \lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] \) cũng không tồn tại. Vậy mệnh đề d) sai vì \( \lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] \) không tồn tại. Đáp số: a) Sai b) Sai c) Sai d) Sai Câu 3. a) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC nên MN // AC (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). b) Vì MN // AC và AC nằm trong mặt phẳng (ABCD), nên MN // (ABCD) (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). c) Ta có J và I lần lượt là trung điểm của CD và AD, nên JI // AC và JI = $\frac{1}{2}$ AC (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). Mà MN // AC và MN = $\frac{1}{2}$ AC (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng), nên JI = 2MN. d) Ta có K là trung điểm của SD, nên MK // DS và MK = $\frac{1}{2}$ DS (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). Mà DS // AC (đáy ABCD là hình bình hành), nên MK // AC và MK = $\frac{1}{2}$ AC (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). Vì MK // AC và MK = $\frac{1}{2}$ AC, nên MK // JI và MK = JI (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng). Do đó, MN // (KJI) (dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng).