giúp mình với ạ

Câu 11. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng trong một tứ diện ABCD, các cạnh AB và CD không nằm trên cùng một mặt phẳng. Do đó, chúng không thể cắt nhau hoặc song song. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. AB và CD cắt nhau. - Điều này không đúng vì AB và CD không nằm trên cùng một mặt phẳng, do đó chúng không thể cắt nhau. B. AB và CD chéo nhau. - Điều này có thể đúng vì AB và CD không nằm trên cùng một mặt phẳng, do đó chúng có thể chéo nhau. C. AB và CD song song. - Điều này không đúng vì AB và CD không nằm trên cùng một mặt phẳng, do đó chúng không thể song song. D. Tồn tại một mặt phẳng chứa AB và CD. - Điều này không đúng vì AB và CD không nằm trên cùng một mặt phẳng, do đó không tồn tại một mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng này. Vậy khẳng định đúng là: B. AB và CD chéo nhau. Câu 12. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. - Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), điều đó có nghĩa là đường thẳng d không cắt mặt phẳng (P) ở bất kỳ điểm nào. Do đó, đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung nào. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. Đường thẳng d không có điểm chung với mặt phẳng (P). - Đây là mệnh đề đúng vì nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), thì chúng không có điểm chung nào. B. Đường thẳng d có đúng một điểm chung với mặt phẳng (P). - Đây là mệnh đề sai vì nếu đường thẳng d có đúng một điểm chung với mặt phẳng (P), thì đường thẳng d sẽ cắt mặt phẳng (P) tại điểm đó, không thể song song. C. Đường thẳng d có đúng hai điểm chung với mặt phẳng (P). - Đây là mệnh đề sai vì nếu đường thẳng d có đúng hai điểm chung với mặt phẳng (P), thì đường thẳng d sẽ nằm trong mặt phẳng (P), không thể song song. D. Đường thẳng d có vô số điểm chung với mặt phẳng (P). - Đây là mệnh đề sai vì nếu đường thẳng d có vô số điểm chung với mặt phẳng (P), thì đường thẳng d sẽ nằm trong mặt phẳng (P), không thể song song. Vậy, mệnh đề đúng là: A. Đường thẳng d không có điểm chung với mặt phẳng (P). Đáp án: A. Câu 13: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung. - Đây là một mệnh đề đúng vì hai mặt phẳng song song không bao giờ cắt nhau, do đó không có điểm chung. B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. - Đây cũng là một mệnh đề đúng. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba, thì chúng phải song song với nhau. C. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. - Đây là một mệnh đề sai. Mặc dù hai mặt phẳng song song với nhau, nhưng mọi đường thẳng nằm trong một mặt phẳng không nhất thiết phải song song với mặt phẳng kia. Các đường thẳng nằm trong mặt phẳng này có thể song song hoặc vuông góc với mặt phẳng kia tùy thuộc vào vị trí của chúng. D. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song song với nhau. - Đây là một mệnh đề đúng. Khi một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song, hai giao tuyến tạo thành sẽ song song với nhau. Vậy, mệnh đề sai là: C. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. Câu 14: Trước tiên, ta cần hiểu rằng mặt phẳng (ABA') song song với một trong các mặt phẳng đã cho. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: 1. Mặt phẳng (ABA') và mặt phẳng (AA'C'): - Mặt phẳng (ABA') bao gồm các điểm A, B, A'. - Mặt phẳng (AA'C') bao gồm các điểm A, A', C'. - Vì cả hai mặt phẳng đều chứa điểm A và A', nhưng (ABA') không chứa điểm C', nên chúng không song song. 2. Mặt phẳng (ABA') và mặt phẳng (CC'D'): - Mặt phẳng (ABA') bao gồm các điểm A, B, A'. - Mặt phẳng (CC'D') bao gồm các điểm C, C', D'. - Vì hai mặt phẳng này không chia sẻ cùng một đường thẳng nào, nên chúng không song song. 3. Mặt phẳng (ABA') và mặt phẳng (ADD'): - Mặt phẳng (ABA') bao gồm các điểm A, B, A'. - Mặt phẳng (ADD') bao gồm các điểm A, D, D'. - Vì cả hai mặt phẳng đều chứa điểm A, nhưng (ABA') không chứa điểm D hoặc D', nên chúng không song song. 4. Mặt phẳng (ABA') và mặt phẳng (BB'C'): - Mặt phẳng (ABA') bao gồm các điểm A, B, A'. - Mặt phẳng (BB'C') bao gồm các điểm B, B', C'. - Vì cả hai mặt phẳng đều chứa điểm B và B', và chúng không chia sẻ thêm bất kỳ điểm nào khác, nên chúng song song. Do đó, mặt phẳng (ABA') song song với mặt phẳng (BB'C'). Đáp án đúng là: D. (BB'C') Câu 15: Trước tiên, ta nhận thấy rằng mặt phẳng (A'BB'D) bao gồm các điểm A', B, B' và D. Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn là song song với mặt phẳng (A'BB'D), ta cần kiểm tra xem các điểm của mặt phẳng đó có nằm trên cùng một đường thẳng song song với các đường thẳng trong mặt phẳng (A'BB'D) hay không. - Mặt phẳng (BAC) bao gồm các điểm B, A và C. Điểm C không thuộc mặt phẳng (A'BB'D), do đó mặt phẳng (BAC) không song song với mặt phẳng (A'BB'D). - Mặt phẳng (ABD) bao gồm các điểm A, B và D. Điểm A không thuộc mặt phẳng (A'BB'D), do đó mặt phẳng (ABD) không song song với mặt phẳng (A'BB'D). - Mặt phẳng (BDA') bao gồm các điểm B, D và A'. Các điểm này đều thuộc mặt phẳng (A'BB'D), do đó mặt phẳng (BDA') trùng với mặt phẳng (A'BB'D), không phải là mặt phẳng song song. - Mặt phẳng (ACD') bao gồm các điểm A, C và D'. Ta cần kiểm tra xem các điểm này có nằm trên cùng một đường thẳng song song với các đường thẳng trong mặt phẳng (A'BB'D) hay không. Điểm A không thuộc mặt phẳng (A'BB'D), do đó mặt phẳng (ACD') không song song với mặt phẳng (A'BB'D). Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng mặt phẳng (BDA') bao gồm các điểm B, D và A', và các điểm này đều thuộc mặt phẳng (A'BB'D). Do đó, mặt phẳng (BDA') trùng với mặt phẳng (A'BB'D), không phải là mặt phẳng song song. Vậy mặt phẳng (A'BB'D) song song với mặt phẳng (BDA'). Đáp án: C. (BDA'). Câu 16: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng lý thuyết về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. 1. Điều kiện ban đầu: - Đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\). 2. Lập luận: - Theo lý thuyết, nếu một đường thẳng \(a\) song song với một mặt phẳng \((P)\), thì có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng \(a\) và cũng song song với mặt phẳng \((P)\). 3. Giải thích chi tiết: - Khi đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\), ta có thể tưởng tượng rằng ta có thể quay mặt phẳng chứa đường thẳng \(a\) quanh đường thẳng đó sao cho nó vẫn song song với mặt phẳng \((P)\). Điều này có nghĩa là có vô số mặt phẳng khác nhau có thể chứa đường thẳng \(a\) và vẫn song song với mặt phẳng \((P)\). Do đó, đáp án đúng là: D. Vô số. Đáp số: D. Vô số. Câu 17. Trong phép chiếu song song, ta cần kiểm tra tính chất nào không được bảo toàn trong các lựa chọn đã cho. A. Chéo nhau: Khi hai đường thẳng chéo nhau, chúng sẽ vẫn chéo nhau sau phép chiếu song song. Tính chất này được bảo toàn. B. Đồng qui: Khi hai đường thẳng đồng qui (giao nhau tại một điểm), chúng sẽ vẫn giao nhau tại một điểm sau phép chiếu song song. Tính chất này cũng được bảo toàn. C. Song song: Khi hai đường thẳng song song, chúng sẽ vẫn song song sau phép chiếu song song. Tính chất này được bảo toàn. D. Thẳng hàng: Khi ba điểm thẳng hàng (nằm trên cùng một đường thẳng), chúng có thể không còn thẳng hàng nữa sau phép chiếu song song. Tính chất này không được bảo toàn. Do đó, đáp án đúng là: D. Thẳng hàng. Câu 18: Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình chữ nhật. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình thoi. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp hình chiếu của hình chữ nhật: 1. Hình chữ nhật: - Nếu hình chữ nhật được chiếu thẳng đứng hoặc nằm ngang, hình chiếu của nó vẫn là hình chữ nhật. Do đó, hình chiếu của hình chữ nhật có thể là hình chữ nhật. 2. Hình thang: - Nếu hình chữ nhật được chiếu nghiêng sao cho hai cạnh song song của nó tạo thành hai đường thẳng không song song, thì hình chiếu của nó có thể là hình thang. Do đó, hình chiếu của hình chữ nhật có thể là hình thang. 3. Hình bình hành: - Nếu hình chữ nhật được chiếu nghiêng sao cho các cạnh của nó tạo thành các đường thẳng không vuông góc với nhau nhưng vẫn song song, thì hình chiếu của nó có thể là hình bình hành. Do đó, hình chiếu của hình chữ nhật có thể là hình bình hành. 4. Hình thoi: - Hình thoi là hình có bốn cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song song. Để hình chữ nhật có thể có hình chiếu là hình thoi, tất cả các cạnh của hình chữ nhật phải bằng nhau và các cặp cạnh đối diện phải song song. Tuy nhiên, hình chữ nhật có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau nhưng không phải tất cả các cạnh đều bằng nhau. Do đó, hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thoi. Vậy, hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thoi. Đáp án: D. Hình thoi. Câu 19: Để xác định hàm số nào không liên tục tại \( x = 2 \), ta cần kiểm tra tính liên tục của mỗi hàm số tại điểm đó. A. \( y = \sqrt{x + 2} \) - Hàm số này có nghĩa khi \( x + 2 \geq 0 \), tức là \( x \geq -2 \). Tại \( x = 2 \), \( y = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \). Do đó, hàm số liên tục tại \( x = 2 \). B. \( y = \sin x \) - Hàm số \( \sin x \) là hàm số liên tục trên toàn bộ miền xác định của nó, bao gồm cả điểm \( x = 2 \). Do đó, hàm số liên tục tại \( x = 2 \). C. \( y = \frac{x^2}{x - 2} \) - Hàm số này không có nghĩa tại \( x = 2 \) vì mẫu số \( x - 2 \) bằng 0. Do đó, hàm số không liên tục tại \( x = 2 \). D. \( y = x^2 - 3x + 2 \) - Đây là một đa thức, và tất cả các đa thức đều liên tục trên toàn bộ miền xác định của chúng. Tại \( x = 2 \), \( y = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \). Do đó, hàm số liên tục tại \( x = 2 \). Từ các phân tích trên, ta thấy rằng hàm số \( y = \frac{x^2}{x - 2} \) không liên tục tại \( x = 2 \). Đáp án đúng là: C. \( y = \frac{x^2}{x - 2} \). Câu 20: Để xác định hàm số nào liên tục trên R, chúng ta cần kiểm tra tính liên tục của mỗi hàm số tại mọi điểm thuộc tập số thực R. A. \( y = x + \cos x \) - Hàm số \( y = x \) là hàm đa thức, liên tục trên R. - Hàm số \( y = \cos x \) là hàm lượng giác, liên tục trên R. - Tổng của hai hàm liên tục cũng là hàm liên tục. Do đó, \( y = x + \cos x \) liên tục trên R. B. \( y = x - \tan x \) - Hàm số \( y = x \) là hàm đa thức, liên tục trên R. - Hàm số \( y = \tan x \) không liên tục tại các điểm \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (k là số nguyên). Do đó, \( y = x - \tan x \) không liên tục trên R. C. \( y = 1 + \cot x \) - Hàm số \( y = 1 \) là hàm hằng, liên tục trên R. - Hàm số \( y = \cot x \) không liên tục tại các điểm \( x = k\pi \) (k là số nguyên). Do đó, \( y = 1 + \cot x \) không liên tục trên R. D. \( y = \frac{1}{\cos x} \) - Hàm số \( y = \cos x \) liên tục trên R, nhưng \( y = \frac{1}{\cos x} \) không liên tục tại các điểm \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (k là số nguyên) vì cos x bằng 0 tại các điểm này. Do đó, \( y = \frac{1}{\cos x} \) không liên tục trên R. Kết luận: Hàm số liên tục trên R là \( y = x + \cos x \). Đáp án đúng là: A. \( y = x + \cos x \) Câu 21: Cấp số cộng $u_\nu$ có các số hạng đầu lần lượt là 5;9;13;17;... Ta thấy: - Số hạng thứ nhất: $u_1 = 5$ - Số hạng thứ hai: $u_2 = 9$ - Số hạng thứ ba: $u_3 = 13$ - Số hạng thứ tư: $u_4 = 17$ Quy luật của cấp số cộng này là mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng thêm 4. Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng này là: \[ u_n = 5 + (n-1) \times 4 \] Rút gọn biểu thức trên: \[ u_n = 5 + 4n - 4 \] \[ u_n = 4n + 1 \] Vậy đáp án đúng là: A. $u_n = 4n + 1$. Câu 22: Cấp số cộng \( u \) có số hạng đầu \( u_1 = 2 \) và công sai \( d = 3 \). Số hạng tổng quát của một cấp số cộng được tính theo công thức: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này vào bài toán: \[ u_n = 2 + (n-1) \cdot 3 \] \[ u_n = 2 + 3(n-1) \] Vậy đáp án đúng là: D. \( 2 + 3(n-1) \) Đáp số: D. \( 2 + 3(n-1) \) Câu 23: Cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=3$ và công bội $q=2$. Số hạng tổng quát của cấp số nhân được tính theo công thức: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào bài toán này: \[ u_n = 3 \cdot 2^{n-1} \] Vậy đáp án đúng là: D. $~3.2^{n-1}$