helppp meeeeeeeeee

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định giá trị của $\tan a$ dựa vào tọa độ của điểm $M$ trên đường tròn lượng giác. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm $M$. Theo đề bài, tọa độ của điểm $M$ là $\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$. Bước 2: Xác định giá trị của $\cos a$ và $\sin a$. - Tọa độ của điểm $M$ trên đường tròn lượng giác là $(\cos a, \sin a)$. - Do đó, $\cos a = \frac{3}{5}$ và $\sin a = \frac{4}{5}$. Bước 3: Tính giá trị của $\tan a$. - Công thức tính $\tan a$ là $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$. - Thay giá trị của $\sin a$ và $\cos a$ vào công thức: \[ \tan a = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{3} \] Vậy giá trị của $\tan a$ là $\frac{4}{3}$. Đáp số: $\tan a = \frac{4}{3}$. Câu 2: Để tính giá trị của biểu thức \( C = \sin^2 25^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 65^\circ \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tính giá trị của từng thành phần trong biểu thức: - \(\sin 25^\circ\) là một giá trị không thể đơn giản hóa hơn nữa, nhưng ta sẽ giữ nguyên. - \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\sin 65^\circ\) cũng là một giá trị không thể đơn giản hóa hơn nữa, nhưng ta sẽ giữ nguyên. Bước 2: Tính bình phương của từng thành phần: - \(\sin^2 25^\circ\) - \(\sin^2 45^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) - \(\sin^2 60^\circ = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}\) - \(\sin^2 65^\circ\) Bước 3: Ghi nhận rằng \(\sin 65^\circ = \cos 25^\circ\) vì \(\sin (90^\circ - x) = \cos x\). Do đó, \(\sin^2 65^\circ = \cos^2 25^\circ\). Bước 4: Áp dụng công thức Pythagoras cho sin và cos: \[ \sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ = 1 \] Bước 5: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ C = \sin^2 25^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 65^\circ \] \[ C = \sin^2 25^\circ + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \cos^2 25^\circ \] \[ C = (\sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ) + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \] \[ C = 1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \] Bước 6: Cộng các phân số: \[ C = 1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \] \[ C = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} \] \[ C = 1 + \frac{5}{4} \] \[ C = \frac{4}{4} + \frac{5}{4} \] \[ C = \frac{9}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( C \) là: \[ C = \frac{9}{4} \] Câu 3: Để tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = 1 - 2n$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên ($u_1$) và số hạng thứ 10 ($u_{10}$). - Số hạng đầu tiên: $u_1 = 1 - 2 \times 1 = 1 - 2 = -1$ - Số hạng thứ 10: $u_{10} = 1 - 2 \times 10 = 1 - 20 = -19$ Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n) \] Trong đó, $S_n$ là tổng của n số hạng đầu tiên, $n$ là số lượng số hạng, $u_1$ là số hạng đầu tiên, và $u_n$ là số hạng thứ n. Áp dụng vào bài toán: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \times (-1 + (-19)) \] \[ S_{10} = 5 \times (-20) \] \[ S_{10} = -100 \] Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $-100$. Câu 4: Để tìm số nghiệm của phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$ trong đoạn $[\pi; 2\pi]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị của $x$ sao cho $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$: - Biết rằng $\sin(\theta) = 1$ khi $\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, với $k$ là số nguyên. - Do đó, $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. 2. Giải phương trình để tìm $x$: - $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ - $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ - $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ 3. Xác định các giá trị của $k$ sao cho $x$ nằm trong đoạn $[\pi; 2\pi]$: - Ta cần tìm $k$ sao cho $\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq 2\pi$. - Điều này tương đương với: \[ \pi \leq \frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq 2\pi \] - Chia cả ba vế cho $\pi$: \[ 1 \leq \frac{1}{4} + 2k \leq 2 \] - Nhân cả ba vế với 4: \[ 4 \leq 1 + 8k \leq 8 \] - Trừ 1 từ cả ba vế: \[ 3 \leq 8k \leq 7 \] - Chia cả ba vế cho 8: \[ \frac{3}{8} \leq k \leq \frac{7}{8} \] 4. Xác định các giá trị nguyên của $k$: - Trong khoảng $\frac{3}{8} \leq k \leq \frac{7}{8}$, chỉ có $k = 0$ là số nguyên duy nhất thỏa mãn. 5. Tính giá trị của $x$ khi $k = 0$: - $x = \frac{\pi}{4} + 2(0)\pi = \frac{\pi}{4}$ 6. Kiểm tra lại giá trị của $x$ có nằm trong đoạn $[\pi; 2\pi]$ hay không: - $\frac{\pi}{4}$ không nằm trong đoạn $[\pi; 2\pi]$. Do đó, không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$ trong đoạn $[\pi; 2\pi]$. Kết luận: Số nghiệm của phương trình $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$ trong đoạn $[\pi; 2\pi]$ là 0. Câu 5: Để tìm thời điểm mực nước của kênh cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( h = 3 \cos \left( \frac{\pi t}{2} \right) + 5 \). Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất của hàm cosin. - Hàm số \( \cos x \) có giá trị lớn nhất là 1. Bước 2: Thay giá trị lớn nhất của cosin vào hàm số \( h \). - Khi \( \cos \left( \frac{\pi t}{2} \right) = 1 \), ta có: \[ h = 3 \cdot 1 + 5 = 3 + 5 = 8 \] Bước 3: Tìm thời điểm \( t \) sao cho \( \cos \left( \frac{\pi t}{2} \right) = 1 \). - Ta biết rằng \( \cos x = 1 \) khi \( x = 2k\pi \) (với \( k \) là số nguyên). - Do đó, \( \frac{\pi t}{2} = 2k\pi \). - Giải phương trình này: \[ \frac{\pi t}{2} = 2k\pi \] \[ t = 4k \] Bước 4: Xác định thời điểm trong ngày (từ 0 đến 24 giờ). - Vì \( t \) đại diện cho thời gian trong ngày, ta chỉ quan tâm đến các giá trị \( t \) nằm trong khoảng từ 0 đến 24. - Các giá trị \( t \) thỏa mãn là \( t = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 \). Bước 5: Kết luận thời điểm mực nước cao nhất. - Mực nước của kênh cao nhất khi \( t = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 \) giờ. Vậy mực nước của kênh cao nhất vào các thời điểm 0 giờ, 4 giờ, 8 giờ, 12 giờ, 16 giờ, 20 giờ và 24 giờ. Câu 6: Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=1$, $u_2=3$. Ta có công bội của cấp số nhân là: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{3}{1} = 3 \] Số hạng thứ 2025 của cấp số nhân là: \[ u_{2025} = u_1 \cdot q^{2025-1} = 1 \cdot 3^{2024} = 3^{2024} \] Đáp số: $u_{2025} = 3^{2024}$