Bạn Hiền là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây: Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn Hiền chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là bao nhiêu?.

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về hình học và đại số để tìm ra kích thước tối ưu của mảnh tôn sao cho thể tích của chiếc thùng hình trụ là lớn nhất.

Bước 1: Xác định các thông số liên quan
- Chu vi mảnh tôn là 120 cm.
- Chiều dài mảnh tôn là $ l $.
- Chiều rộng mảnh tôn là $ w $.

Bước 2: Xác định mối liên hệ giữa các thông số
- Chu vi mảnh tôn: $ 2l + 2w = 120 $ 
- Biến đổi: $ l + w = 60 $
- Do đó: $ w = 60 - l $

Bước 3: Xác định thể tích của thùng hình trụ
- Khi cuộn mảnh tôn thành hình trụ, chiều dài $ l $ sẽ trở thành đường cao $ h $ của hình trụ.
- Chiều rộng $ w $ sẽ trở thành chu vi đáy của hình trụ, do đó bán kính đáy $ r $ của hình trụ là:
$$ 2\pi r = w \Rightarrow r = \frac{w}{2\pi} = \frac{60 - l}{2\pi} $$

- Thể tích $ V $ của hình trụ được tính bằng công thức:
$$ V = \pi r^2 h $$
Thay $ r $ và $ h $:
$$ V = \pi \left( \frac{60 - l}{2\pi} \right)^2 l $$
$$ V = \pi \left( \frac{(60 - l)^2}{4\pi^2} \right) l $$
$$ V = \frac{(60 - l)^2 l}{4\pi} $$

Bước 4: Tìm giá trị cực đại của thể tích
- Để tìm giá trị cực đại của $ V $, chúng ta sẽ tìm đạo hàm của $ V $ theo $ l $ và đặt nó bằng 0.
$$ V = \frac{(60 - l)^2 l}{4\pi} $$
$$ V&#x27; = \frac{d}{dl} \left( \frac{(60 - l)^2 l}{4\pi} \right) $$
Áp dụng quy tắc đạo hàm:
$$ V&#x27; = \frac{1}{4\pi} \left[ (60 - l)^2 \cdot 1 + l \cdot 2(60 - l)(-1) \right] $$
$$ V&#x27; = \frac{1}{4\pi} \left[ (60 - l)^2 - 2l(60 - l) \right] $$
$$ V&#x27; = \frac{1}{4\pi} \left[ (60 - l)(60 - l - 2l) \right] $$
$$ V&#x27; = \frac{1}{4\pi} \left[ (60 - l)(60 - 3l) \right] $$

Đặt $ V&#x27; = 0 $:
$$ (60 - l)(60 - 3l) = 0 $$
$$ 60 - l = 0 \quad \text{hoặc} \quad 60 - 3l = 0 $$
$$ l = 60 \quad \text{hoặc} \quad l = 20 $$

Do $ l = 60 $ không thỏa mãn điều kiện $ l + w = 60 $, nên ta có:
$$ l = 20 $$
$$ w = 60 - l = 60 - 20 = 40 $$

Bước 5: Kết luận
Chiều dài và chiều rộng của mảnh tôn để làm chiếc thùng có thể tích lớn nhất lần lượt là 20 cm và 40 cm.

Đáp số: Chiều dài: 20 cm, Chiều rộng: 40 cm.

☘[HTMU]ঔৣ۝๖ۣۜKanroji ๖ۣۜMitsuri♡²к⁹ঔৣ۝✞(かんろじみつり )h · Answer

Ta gọi các giá trị sau : Chiều dài mảnh tôn là $ l $ và chiều rộng mảnh tôn là $ w $.
Chu vi mảnh tôn: $ 2l + 2w = 120 $

suy ra $ w = 60 - l $
Bán kính đáy $ r $ của hình trụ là:$$ 2\pi r = w \Rightarrow r = \frac{w}{2\pi} = \frac{60 - l}{2\pi} $$
Thể tích $ V $ của hình trụ là :
$$ V = \pi r^2 h $$
Thay $ r $ và $ h $:
$$ V = \pi \left( \frac{60 - l}{2\pi} \right)^2 l $$
$$ V = \pi \left( \frac{(60 - l)^2}{4\pi^2} \right) l $$
$$ V = \frac{(60 - l)^2 l}{4\pi} $$

$$ V' = \frac{d}{dl} \left( \frac{(60 - l)^2 l}{4\pi} \right) $$
$$ V' = \frac{1}{4\pi} \left[ (60 - l)^2 \cdot 1 + l \cdot 2(60 - l)(-1) \right] $$
$$ V' = \frac{1}{4\pi} \left[ (60 - l)^2 - 2l(60 - l) \right] $$
$$ V' = \frac{1}{4\pi} \left[ (60 - l)(60 - l - 2l) \right] $$
$$ V' = \frac{1}{4\pi} \left[ (60 - l)(60 - 3l) \right] $$
Xét $ V' = 0 $:
$$ (60 - l)(60 - 3l) = 0 $$
$$ 60 - l = 0 \quad \text{hoặc} \quad 60 - 3l = 0 $$
$$ l = 60 (không thỏa mãn) \quad \text{hoặc} \quad l = 20 $$
$$ l = 20 $$
$$ w = 60 - l = 60 - 20 = 40 $$
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh tôn để làm chiếc thùng có thể tích lớn nhất lần lượt là 20 cm và 40 cm.

Bạn Hiền là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây: Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn Hiền chọn mảnh...