giải giúp mình bài tập này

Bài 6. a) \(66 \times 28 + 66 \times 72 - 230\) Ta nhận thấy rằng \(66\) là thừa số chung trong hai phép nhân đầu tiên, do đó ta có thể nhóm chúng lại: \(= 66 \times (28 + 72) - 230\) \(= 66 \times 100 - 230\) \(= 6600 - 230\) \(= 6370\) b) \(27 \times 39 + 27 \times 63 - 2 \times 27\) Ta nhận thấy rằng \(27\) là thừa số chung trong ba phép nhân, do đó ta có thể nhóm chúng lại: \(= 27 \times (39 + 63 - 2)\) \(= 27 \times 100\) \(= 2700\) c) \(27 \times 121 - 87 \times 27 + 73 \times 34\) Ta nhận thấy rằng \(27\) là thừa số chung trong hai phép nhân đầu tiên, do đó ta có thể nhóm chúng lại: \(= 27 \times (121 - 87) + 73 \times 34\) \(= 27 \times 34 + 73 \times 34\) \(= (27 + 73) \times 34\) \(= 100 \times 34\) \(= 3400\) d) \(41 \times 36 + 59 \times 90 + 41 \times 84 + 59 \times 30\) Ta nhận thấy rằng \(41\) là thừa số chung trong hai phép nhân đầu tiên và \(59\) là thừa số chung trong hai phép nhân cuối cùng, do đó ta có thể nhóm chúng lại: \(= 41 \times (36 + 84) + 59 \times (90 + 30)\) \(= 41 \times 120 + 59 \times 120\) \(= (41 + 59) \times 120\) \(= 100 \times 120\) \(= 12000\) Đáp số: a) 6370 b) 2700 c) 3400 d) 12000 Bài 7. Để tính tổng của các dãy số trên, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tính tổng của dãy số cách đều. a) Tính tổng \( S = 1 + 4 + 7 + ... + 79 \) 1. Xác định số hạng đầu tiên (\(a_1\)) và số hạng cuối cùng (\(a_n\)): - Số hạng đầu tiên \(a_1 = 1\) - Số hạng cuối cùng \(a_n = 79\) 2. Xác định khoảng cách giữa các số hạng (cách đều): - Khoảng cách \(d = 4 - 1 = 3\) 3. Xác định số lượng số hạng trong dãy: - Số lượng số hạng \(n\) trong dãy được tính bằng công thức: \[ n = \frac{(a_n - a_1)}{d} + 1 = \frac{(79 - 1)}{3} + 1 = \frac{78}{3} + 1 = 26 + 1 = 27 \] 4. Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều: - Công thức tính tổng \(S\) của dãy số cách đều: \[ S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ S = \frac{27}{2} \times (1 + 79) = \frac{27}{2} \times 80 = 27 \times 40 = 1080 \] Vậy, tổng của dãy số \(S = 1 + 4 + 7 + ... + 79\) là \(1080\). b) Tính tổng \( S = 9 + 13 + 17 + ... + 41 + 45 \) 1. Xác định số hạng đầu tiên (\(a_1\)) và số hạng cuối cùng (\(a_n\)): - Số hạng đầu tiên \(a_1 = 9\) - Số hạng cuối cùng \(a_n = 45\) 2. Xác định khoảng cách giữa các số hạng (cách đều): - Khoảng cách \(d = 13 - 9 = 4\) 3. Xác định số lượng số hạng trong dãy: - Số lượng số hạng \(n\) trong dãy được tính bằng công thức: \[ n = \frac{(a_n - a_1)}{d} + 1 = \frac{(45 - 9)}{4} + 1 = \frac{36}{4} + 1 = 9 + 1 = 10 \] 4. Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều: - Công thức tính tổng \(S\) của dãy số cách đều: \[ S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ S = \frac{10}{2} \times (9 + 45) = 5 \times 54 = 270 \] Vậy, tổng của dãy số \(S = 9 + 13 + 17 + ... + 41 + 45\) là \(270\). Bài 8. a) Số $\overline{7641}$ chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Tổng các chữ số hiện tại là: $7 + 6 + 4 + 1 = 18$ Số 18 đã chia hết cho 9, do đó ta có thể điền số 0 vào dấu để giữ nguyên tổng các chữ số. Vậy số cần điền là: $\overline{76410}$ b) Số $\overline{5202}$ chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Tổng các chữ số hiện tại là: $5 + 2 + 0 + 2 = 9$ Số 9 đã chia hết cho 3, do đó ta có thể điền số 0 vào dấu để giữ nguyên tổng các chữ số. Vậy số cần điền là: $\overline{52020}$ c) Số $\overline{17829}$ chia hết cho 2, 3, 5, 9 khi: - Chia hết cho 2: Số tận cùng phải là số chẵn. - Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3. - Chia hết cho 5: Số tận cùng phải là 0 hoặc 5. - Chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9. Tổng các chữ số hiện tại là: $1 + 7 + 8 + 2 + 9 = 27$ Số 27 đã chia hết cho 3 và 9, do đó ta cần tìm một số chẵn và chia hết cho 5 để điền vào dấu . Số duy nhất thỏa mãn là 0. Vậy số cần điền là: $\overline{178290}$ Đáp số: a) $\overline{76410}$ b) $\overline{52020}$ c) $\overline{178290}$ Bài 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng điều kiện và tìm các số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn các điều kiện đã cho. a) Các số chia hết cho 2: - Một số chia hết cho 2 nếu chữ số cuối cùng của nó là số chẵn. - Các số có thể tạo ra từ ba trong bốn chữ số 5, 4, 8, 0 là: 540, 580, 450, 480, 850, 840. b) Các số chia hết cho 5: - Một số chia hết cho 5 nếu chữ số cuối cùng của nó là 0 hoặc 5. - Các số có thể tạo ra từ ba trong bốn chữ số 5, 4, 8, 0 là: 540, 580, 450, 480, 850, 840, 405, 805. c) Các số chia hết cho 9: - Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. - Các số có thể tạo ra từ ba trong bốn chữ số 5, 4, 8, 0 là: 405, 504. d) Các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9: - Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. - Các số có thể tạo ra từ ba trong bốn chữ số 5, 4, 8, 0 là: 540, 580, 450, 480, 850, 840, 405, 805, 548, 584, 458, 485, 854, 845. Tuy nhiên, chúng ta cần loại bỏ các số chia hết cho 9 từ danh sách trên để tìm các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Như vậy, các số còn lại là: - 540, 580, 450, 480, 850, 840, 805, 548, 584, 458, 485, 854, 845. Đáp số: a) 540, 580, 450, 480, 850, 840 b) 540, 580, 450, 480, 850, 840, 405, 805 c) 405, 504 d) 540, 580, 450, 480, 850, 840, 805, 548, 584, 458, 485, 854, 845 Bài 10. a) Ta có dạng tổng quát của số tự nhiên \(a\) khi chia cho 12 có số dư là 8 là: \[ a = 12k + 8 \] Trong đó \(k\) là số tự nhiên. b) Để kiểm tra xem số \(a\) có chia hết cho 4 hay không, ta xét biểu thức \(a = 12k + 8\). Ta thấy rằng: - \(12k\) là bội của 12, do đó nó cũng là bội của 4 (vì 12 chia hết cho 4). - 8 cũng là bội của 4. Do đó, tổng của hai số chia hết cho 4 sẽ là: \[ 12k + 8 \] Vậy số \(a\) luôn chia hết cho 4. Đáp số: a) Dạng tổng quát của \(a\) là \(a = 12k + 8\) b) Số \(a\) chia hết cho 4. Bài 11. Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{60} \) chia hết cho 6 và 7, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Chứng minh \( A \) chia hết cho 6 1. Tìm tổng của dãy số: Ta thấy \( A \) là tổng của một dãy số lũy thừa cơ số 2 từ \( 2^1 \) đến \( 2^{60} \). 2. Nhận xét về tính chia hết: Ta nhận thấy rằng mọi số lũy thừa của 2 đều là số chẵn. Do đó, tổng của các số chẵn cũng là số chẵn. 3. Chia hết cho 3: Ta sẽ kiểm tra tính chia hết cho 3 của \( A \). Ta có: \[ 2^1 = 2 \] \[ 2^2 = 4 \] \[ 2^3 = 8 \] \[ 2^4 = 16 \] \[ 2^5 = 32 \] \[ 2^6 = 64 \] Ta thấy rằng \( 2^3 = 8 \) chia hết cho 3, \( 2^6 = 64 \) cũng chia hết cho 3. Vì vậy, các số \( 2^3k \) (với \( k \) là số tự nhiên) đều chia hết cho 3. Dãy số \( 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{60} \) có 60 số hạng. Trong đó, các số \( 2^3, 2^6, ..., 2^{60} \) đều chia hết cho 3. Số lượng các số hạng này là \( \frac{60}{3} = 20 \) số hạng. Các số còn lại là \( 2, 2^2, 2^4, 2^5, ..., 2^{59} \). Ta thấy rằng tổng của các số này cũng chia hết cho 3 vì chúng tạo thành các nhóm 3 số liên tiếp. Do đó, tổng của tất cả các số hạng trong dãy \( A \) chia hết cho 3. 4. Kết luận: Vì \( A \) là số chẵn và chia hết cho 3, nên \( A \) chia hết cho 6. b) Chứng minh \( A \) chia hết cho 7 1. Nhận xét về tính chia hết: Ta sẽ kiểm tra tính chia hết cho 7 của \( A \). Ta có: \[ 2^1 = 2 \] \[ 2^2 = 4 \] \[ 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7} \] \[ 2^4 = 16 \equiv 2 \pmod{7} \] \[ 2^5 = 32 \equiv 4 \pmod{7} \] \[ 2^6 = 64 \equiv 1 \pmod{7} \] Ta thấy rằng \( 2^3 \equiv 1 \pmod{7} \), \( 2^6 \equiv 1 \pmod{7} \). Vì vậy, các số \( 2^{3k} \) (với \( k \) là số tự nhiên) đều chia hết cho 7. Dãy số \( 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{60} \) có 60 số hạng. Trong đó, các số \( 2^3, 2^6, ..., 2^{60} \) đều chia hết cho 7. Số lượng các số hạng này là \( \frac{60}{3} = 20 \) số hạng. Các số còn lại là \( 2, 2^2, 2^4, 2^5, ..., 2^{59} \). Ta thấy rằng tổng của các số này cũng chia hết cho 7 vì chúng tạo thành các nhóm 3 số liên tiếp. Do đó, tổng của tất cả các số hạng trong dãy \( A \) chia hết cho 7. Kết luận: - \( A \) chia hết cho 6. - \( A \) chia hết cho 7. Bài 12. a) Ta có $n+9=(n+3)+6.$ Để $n+9$ chia hết cho $n+3$ thì $6$ phải chia hết cho $n+3.$ Vậy $n+3=1;2;3;6.$ Suy ra $n=−2;−1;0;3.$ b) Ta có $4n+11=2\times (2n+1)+9.$ Để $4n+11$ chia hết cho $2n+1$ thì $9$ phải chia hết cho $2n+1.$ Vậy $2n+1=1;3;9.$ Suy ra $n=0;1;4.$ Bài 13. Theo đề bài, ta có: a = 65 × q + 8 b = 52 × p + 5 Trong đó, q và p là các số tự nhiên. Do đó: a + b = 65 × q + 8 + 52 × p + 5 = 65 × q + 52 × p + 13 = 13 × (5 × q + 4 × p) + 13 Vì 13 × (5 × q + 4 × p) và 13 đều chia hết cho 13 nên a + b chia hết cho 13. Bài 14. a) Ta có $x\vdots12$ và $0< x< 50$. Các số tự nhiên chia hết cho 12 và nằm trong khoảng từ 0 đến 50 là: 12, 24, 36, 48. Vậy $x$ có thể là 12, 24, 36 hoặc 48. b) Ta có $40\vdots x$ và $4\leq x\leq30$. Các số tự nhiên chia hết cho 40 và nằm trong khoảng từ 4 đến 30 là: 4, 5, 8, 10, 20. Vậy $x$ có thể là 4, 5, 8, 10 hoặc 20. c) Ta có $120\vdots x$, $300\vdots x$, $420\vdots x$ và $x>20$. Các số tự nhiên chia hết cho cả 120, 300 và 420 và lớn hơn 20 là: 30, 60. Vậy $x$ có thể là 30 hoặc 60. d) Ta có $x\vdots24$, $x\vdots45$ và $200< x< 500$. Các số tự nhiên chia hết cho cả 24 và 45 và nằm trong khoảng từ 200 đến 500 là: 360. Vậy $x$ là 360. e) Ta có $12\vdots(x+1)$. Các số tự nhiên chia hết cho 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Do đó, $x+1$ có thể là 1, 2, 3, 4, 6, 12. Vậy $x$ có thể là 0, 1, 2, 3, 5, 11. Đáp số: a) 12, 24, 36, 48 b) 4, 5, 8, 10, 20 c) 30, 60 d) 360 e) 0, 1, 2, 3, 5, 11 Bài 15. Để tìm số tự nhiên \( x \) nhỏ nhất khác 0 mà \( x \) chia hết cho 40, 220 và 24, chúng ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của ba số này. Bước 1: Tìm thừa số nguyên tố của mỗi số: - \( 40 = 2^3 \times 5 \) - \( 220 = 2^2 \times 5 \times 11 \) - \( 24 = 2^3 \times 3 \) Bước 2: Xác định các thừa số nguyên tố lớn nhất trong các thừa số của mỗi số: - Thừa số 2: \( 2^3 \) (vì \( 2^3 \) là lũy thừa cao nhất của 2 trong các thừa số của 40, 220 và 24) - Thừa số 3: \( 3 \) (chỉ xuất hiện trong thừa số của 24) - Thừa số 5: \( 5 \) (xuất hiện trong thừa số của 40 và 220) - Thừa số 11: \( 11 \) (chỉ xuất hiện trong thừa số của 220) Bước 3: Tính BCNN bằng cách nhân các thừa số nguyên tố lớn nhất: \[ BCNN = 2^3 \times 3 \times 5 \times 11 \] Bước 4: Thực hiện phép nhân: \[ 2^3 = 8 \] \[ 8 \times 3 = 24 \] \[ 24 \times 5 = 120 \] \[ 120 \times 11 = 1320 \] Vậy số tự nhiên \( x \) nhỏ nhất khác 0 mà chia hết cho 40, 220 và 24 là 1320. Đáp số: \( x = 1320 \) Bài 16. Để tìm số tự nhiên \( x \) lớn nhất sao cho cả 420 và 700 đều chia hết cho \( x \), ta cần tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của 420 và 700. Bước 1: Tìm thừa số chung của 420 và 700. - Ta thực hiện phép chia 420 và 700 cho các số nguyên tố nhỏ nhất cho đến khi không thể chia thêm. 420 chia cho 2: \[ 420 : 2 = 210 \] 210 chia cho 2: \[ 210 : 2 = 105 \] 105 chia cho 3: \[ 105 : 3 = 35 \] 35 chia cho 5: \[ 35 : 5 = 7 \] 700 chia cho 2: \[ 700 : 2 = 350 \] 350 chia cho 2: \[ 350 : 2 = 175 \] 175 chia cho 5: \[ 175 : 5 = 35 \] 35 chia cho 5: \[ 35 : 5 = 7 \] Bước 2: Xác định thừa số chung. - Các thừa số chung của 420 và 700 là 2, 2, 5 và 7. Bước 3: Tính UCLN bằng cách nhân các thừa số chung lại với nhau. \[ UCLN = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 140 \] Vậy số tự nhiên \( x \) lớn nhất sao cho cả 420 và 700 đều chia hết cho \( x \) là 140. Đáp số: \( x = 140 \). Bài 17. Để tìm số tự nhiên \( x \) sao cho 288 chia cho \( x \) dư 38 và 413 chia cho \( x \) dư 13, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các số trừ đi số dư: - Số 288 chia cho \( x \) dư 38, vậy số 288 trừ đi 38 sẽ chia hết cho \( x \): \[ 288 - 38 = 250 \] - Số 413 chia cho \( x \) dư 13, vậy số 413 trừ đi 13 sẽ chia hết cho \( x \): \[ 413 - 13 = 400 \] 2. Tìm ước chung của hai số 250 và 400: - Ta cần tìm các ước số chung của 250 và 400. - Các ước số của 250 là: 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250. - Các ước số của 400 là: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400. - Các ước số chung của 250 và 400 là: 1, 2, 5, 10, 25, 50. 3. Kiểm tra điều kiện \( x > 38 \): - Vì \( x \) phải lớn hơn số dư 38, nên ta loại bỏ các ước số nhỏ hơn hoặc bằng 38. - Các ước số chung lớn hơn 38 là: 50. Vậy số tự nhiên \( x \) cần tìm là 50. Đáp số: \( x = 50 \). Bài 18. Để rút gọn các phân số thành phân số tối giản, chúng ta sẽ tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của tử số và mẫu số rồi chia cả tử số và mẫu số cho UCLN đó. a) Rút gọn phân số $\frac{27}{36}$: - Tìm UCLN của 27 và 36: + Các ước của 27 là: 1, 3, 9, 27. + Các ước của 36 là: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. + UCLN của 27 và 36 là 9. - Chia cả tử số và mẫu số cho 9: \[ \frac{27}{36} = \frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4} \] b) Rút gọn phân số $\frac{60}{85}$: - Tìm UCLN của 60 và 85: + Các ước của 60 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. + Các ước của 85 là: 1, 5, 17, 85. + UCLN của 60 và 85 là 5. - Chia cả tử số và mẫu số cho 5: \[ \frac{60}{85} = \frac{60 \div 5}{85 \div 5} = \frac{12}{17} \] c) Rút gọn phân số $\frac{540}{720}$: - Tìm UCLN của 540 và 720: + Các ước của 540 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540. + Các ước của 720 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720. + UCLN của 540 và 720 là 180. - Chia cả tử số và mẫu số cho 180: \[ \frac{540}{720} = \frac{540 \div 180}{720 \div 180} = \frac{3}{4} \] Đáp số: a) $\frac{3}{4}$ b) $\frac{12}{17}$ c) $\frac{3}{4}$ Bài 19. Để thực hiện các phép tính trên, chúng ta sẽ thực hiện quy đồng mẫu số và sau đó thực hiện phép trừ hoặc cộng tương ứng. a) $\frac{19}{28} - \frac{5}{21}$ Bước 1: Tìm mẫu số chung của 28 và 21. Mẫu số chung của 28 và 21 là 84. Bước 2: Quy đồng hai phân số về cùng mẫu số chung là 84. - $\frac{19}{28} = \frac{19 \times 3}{28 \times 3} = \frac{57}{84}$ - $\frac{5}{21} = \frac{5 \times 4}{21 \times 4} = \frac{20}{84}$ Bước 3: Thực hiện phép trừ. $\frac{57}{84} - \frac{20}{84} = \frac{57 - 20}{84} = \frac{37}{84}$ Vậy $\frac{19}{28} - \frac{5}{21} = \frac{37}{84}$ b) $\frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{1}{20}$ Bước 1: Tìm mẫu số chung của 8, 12 và 20. Mẫu số chung của 8, 12 và 20 là 120. Bước 2: Quy đồng ba phân số về cùng mẫu số chung là 120. - $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 15}{8 \times 15} = \frac{45}{120}$ - $\frac{5}{12} = \frac{5 \times 10}{12 \times 10} = \frac{50}{120}$ - $\frac{1}{20} = \frac{1 \times 6}{20 \times 6} = \frac{6}{120}$ Bước 3: Thực hiện phép cộng. $\frac{45}{120} + \frac{50}{120} + \frac{6}{120} = \frac{45 + 50 + 6}{120} = \frac{101}{120}$ Vậy $\frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{1}{20} = \frac{101}{120}$ Bài 20. Để tìm số gà của trang trại, chúng ta cần tìm một số nằm trong khoảng từ 300 đến 400 và chia hết cho 15, 18 và 20. Bước 1: Tìm bội số chung nhỏ nhất của 15, 18 và 20. - Bội số chung của 15 và 18 là 90. - Bội số chung của 90 và 20 là 180. Như vậy, bội số chung nhỏ nhất của 15, 18 và 20 là 180. Bước 2: Kiểm tra các bội số của 180 nằm trong khoảng từ 300 đến 400. - 180 × 1 = 180 (không nằm trong khoảng từ 300 đến 400) - 180 × 2 = 360 (nằm trong khoảng từ 300 đến 400) Vậy số gà của trang trại là 360 con. Đáp số: 360 con gà.