giải ngắn gọn

Câu 1. Để xác định khẳng định đúng về tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. Hàm số $y=f(x)$ được gọi là nghịch biến trên K nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).$ - Đây là định nghĩa của hàm đồng biến, không phải nghịch biến. B. Hàm số $y=f(x)$ được gọi là đồng biến trên K nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2).$ - Định nghĩa này không hoàn toàn chính xác vì nó cho phép trường hợp $f(x_1) = f(x_2)$, trong khi hàm đồng biến yêu cầu $f(x_1) < f(x_2)$ khi $x_1 < x_2$. C. Hàm số $y=f(x)$ được gọi là đồng biến trên K nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2).$ - Đây là định nghĩa của hàm nghịch biến, không phải đồng biến. D. Hàm số $y=f(x)$ được gọi là đồng biến trên K nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).$ - Đây là định nghĩa chính xác của hàm đồng biến. Vậy khẳng định đúng là: D. Hàm số $y=f(x)$ được gọi là đồng biến trên K nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2).$ Câu 2. Để xác định hàm số đồng biến trên R, ta cần kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. \( y = 1 - 2x \) Hàm số này có dạng \( y = ax + b \) với \( a = -2 \) và \( b = 1 \). Vì \( a < 0 \), hàm số này nghịch biến trên R. B. \( y = 3x + 2 \) Hàm số này có dạng \( y = ax + b \) với \( a = 3 \) và \( b = 2 \). Vì \( a > 0 \), hàm số này đồng biến trên R. C. \( y = x^2 + 2x - 1 \) Hàm số này là một hàm bậc hai \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = 2 \), và \( c = -1 \). Vì \( a > 0 \), đồ thị của hàm số này là một parabol mở ra phía trên. Hàm số này không đồng biến trên toàn bộ R mà chỉ đồng biến trên khoảng \( x \geq -1 \). D. \( y = -2(2x - 3) \) Hàm số này có dạng \( y = ax + b \) với \( a = -4 \) và \( b = 6 \). Vì \( a < 0 \), hàm số này nghịch biến trên R. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = 3x + 2 \) là đồng biến trên R. Vậy đáp án đúng là: B. \( y = 3x + 2 \) Câu 3. Để xác định hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần kiểm tra tính chất của mỗi hàm số đã cho. A. $y = x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó $a = 1$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. B. $y = -2x$ - Đây cũng là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó $a = -2$ và $b = 0$. - Vì $a < 0$, hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C. $y = 2x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó $a = 2$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y = \frac{1}{2}x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$, trong đó $a = \frac{1}{2}$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số $y = -2x$ là nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: B. $y = -2x$. Câu 1. Để kiểm tra điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$, ta thay lần lượt tọa độ của mỗi điểm vào phương trình hàm số và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. A. Thay $x = -2$ vào phương trình: \[ y = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] Vậy điểm $(-2; 0)$ thuộc đồ thị hàm số. B. Thay $x = 1$ vào phương trình: \[ y = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Vậy điểm $(1; 1)$ không thuộc đồ thị hàm số vì $y$ không bằng 1. C. Thay $x = -2$ vào phương trình: \[ y = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] Vậy điểm $(-2; -12)$ không thuộc đồ thị hàm số vì $y$ không bằng -12. D. Thay $x = 1$ vào phương trình: \[ y = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Vậy điểm $(1; -1)$ không thuộc đồ thị hàm số vì $y$ không bằng -1. Như vậy, chỉ có điểm $(-2; 0)$ thuộc đồ thị hàm số. Đáp án đúng là: A. $(-2; 0)$. Câu 2. Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đồ thị (P) với phương trình $y = x^2 - 2x + 4$, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. A. $Q(4; 2)$: Thay $x = 4$ vào phương trình: \[ y = 4^2 - 2 \cdot 4 + 4 = 16 - 8 + 4 = 12 \] Vì $y = 12$ không bằng 2, nên điểm Q không thuộc đồ thị (P). B. $N(-3; 1)$: Thay $x = -3$ vào phương trình: \[ y = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 4 = 9 + 6 + 4 = 19 \] Vì $y = 19$ không bằng 1, nên điểm N không thuộc đồ thị (P). C. $P(4; 0)$: Thay $x = 4$ vào phương trình: \[ y = 4^2 - 2 \cdot 4 + 4 = 16 - 8 + 4 = 12 \] Vì $y = 12$ không bằng 0, nên điểm P không thuộc đồ thị (P). D. $M(-3; 19)$: Thay $x = -3$ vào phương trình: \[ y = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 4 = 9 + 6 + 4 = 19 \] Vì $y = 19$, nên điểm M thuộc đồ thị (P). Vậy điểm thuộc đồ thị (P) là: Đáp án đúng là: D. $M(-3; 19)$. Câu 3. Để xác định điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x(x-2)}$, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào hàm số và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. A. $M(2;1)$ Thay $x=2$ vào hàm số: \[ y = \frac{2+1}{2(2-2)} = \frac{3}{2 \cdot 0} \] Phân thức này không xác định vì mẫu số bằng 0. Do đó, điểm M không thuộc đồ thị. B. $N(-1;0)$ Thay $x=-1$ vào hàm số: \[ y = \frac{-1+1}{-1(-1-2)} = \frac{0}{-1 \cdot -3} = \frac{0}{3} = 0 \] Phân thức này xác định và bằng 0, do đó điểm N thuộc đồ thị. C. $P(2;0)$ Thay $x=2$ vào hàm số: \[ y = \frac{2+1}{2(2-2)} = \frac{3}{2 \cdot 0} \] Phân thức này không xác định vì mẫu số bằng 0. Do đó, điểm P không thuộc đồ thị. D. $Q(0;\frac12)$ Thay $x=0$ vào hàm số: \[ y = \frac{0+1}{0(0-2)} = \frac{1}{0 \cdot -2} \] Phân thức này không xác định vì mẫu số bằng 0. Do đó, điểm Q không thuộc đồ thị. Kết luận: Điểm duy nhất thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x(x-2)}$ là điểm $N(-1;0)$. Đáp án đúng là: B. $N(-1;0)$. Câu 4. Để xác định điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x - 1}$, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình hàm số và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. A. $M_1(2;1)$: Thay $x = 2$ vào phương trình: \[ y = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 \] Vậy điểm $M_1(2;1)$ thuộc đồ thị hàm số. B. $M_2(1;1)$: Thay $x = 1$ vào phương trình: \[ y = \frac{1}{1 - 1} = \frac{1}{0} \] Phương trình này không xác định vì chia cho 0, do đó điểm $M_2(1;1)$ không thuộc đồ thị hàm số. C. $M_3(2;0)$: Thay $x = 2$ vào phương trình: \[ y = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 \neq 0 \] Vậy điểm $M_3(2;0)$ không thuộc đồ thị hàm số. D. $M_4(0;-2)$: Thay $x = 0$ vào phương trình: \[ y = \frac{1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \neq -2 \] Vậy điểm $M_4(0;-2)$ không thuộc đồ thị hàm số. Kết luận: Điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x - 1}$ là $M_1(2;1)$. Đáp án đúng là: A. $M_1(2;1)$. Câu 5. Để xác định điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = x + 3 + \sqrt{x - 2}$, ta sẽ lần lượt thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình hàm số và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. A. Điểm $M(3;0)$: Thay $x = 3$ vào phương trình: \[ y = 3 + 3 + \sqrt{3 - 2} = 3 + 3 + \sqrt{1} = 3 + 3 + 1 = 7 \] Vì $y = 7$, không bằng 0, nên điểm $M(3;0)$ không thuộc đồ thị. B. Điểm $N(1;2)$: Thay $x = 1$ vào phương trình: \[ y = 1 + 3 + \sqrt{1 - 2} = 1 + 3 + \sqrt{-1} \] Vì $\sqrt{-1}$ không xác định trong tập số thực, nên điểm $N(1;2)$ không thuộc đồ thị. C. Điểm $P(5;8 + \sqrt{3})$: Thay $x = 5$ vào phương trình: \[ y = 5 + 3 + \sqrt{5 - 2} = 5 + 3 + \sqrt{3} = 8 + \sqrt{3} \] Vì $y = 8 + \sqrt{3}$, nên điểm $P(5;8 + \sqrt{3})$ thuộc đồ thị. D. Điểm $Q(5;8)$: Thay $x = 5$ vào phương trình: \[ y = 5 + 3 + \sqrt{5 - 2} = 5 + 3 + \sqrt{3} = 8 + \sqrt{3} \] Vì $y = 8 + \sqrt{3}$, không bằng 8, nên điểm $Q(5;8)$ không thuộc đồ thị. Kết luận: Điểm thuộc đồ thị hàm số $y = x + 3 + \sqrt{x - 2}$ là điểm $P(5;8 + \sqrt{3})$. Câu 6. Để kiểm tra điểm nào không thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x}$, ta sẽ lần lượt thay tọa độ của mỗi điểm vào hàm số và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. Kiểm tra điểm A(2;0): Thay \( x = 2 \) vào hàm số: \[ y = \frac{\sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 + 4}}{2} = \frac{\sqrt{4 - 8 + 4}}{2} = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 \] Vậy điểm A(2;0) thuộc đồ thị hàm số. Kiểm tra điểm B(3;1/3): Thay \( x = 3 \) vào hàm số: \[ y = \frac{\sqrt{3^2 - 4 \cdot 3 + 4}}{3} = \frac{\sqrt{9 - 12 + 4}}{3} = \frac{\sqrt{1}}{3} = \frac{1}{3} \] Vậy điểm B(3;1/3) thuộc đồ thị hàm số. Kiểm tra điểm C(1;-1): Thay \( x = 1 \) vào hàm số: \[ y = \frac{\sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 + 4}}{1} = \frac{\sqrt{1 - 4 + 4}}{1} = \frac{\sqrt{1}}{1} = 1 \] Vậy điểm C(1;-1) không thuộc đồ thị hàm số vì \( y = 1 \neq -1 \). Kiểm tra điểm D(-1;-3): Thay \( x = -1 \) vào hàm số: \[ y = \frac{\sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 4}}{-1} = \frac{\sqrt{1 + 4 + 4}}{-1} = \frac{\sqrt{9}}{-1} = \frac{3}{-1} = -3 \] Vậy điểm D(-1;-3) thuộc đồ thị hàm số. Từ các phép tính trên, ta thấy rằng điểm C(1;-1) không thỏa mãn phương trình hàm số. Đáp án: C. Câu 7. Để đồ thị hàm số $y = 4x + m - 1$ đi qua điểm $A(1;2)$, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình hàm số. Thay $x = 1$ và $y = 2$ vào phương trình $y = 4x + m - 1$, ta có: \[ 2 = 4 \cdot 1 + m - 1 \] Giải phương trình này: \[ 2 = 4 + m - 1 \] \[ 2 = 3 + m \] \[ m = 2 - 3 \] \[ m = -1 \] Vậy giá trị của $m$ là $-1$.