Giải giúp em với ạ

Câu 46. Để tìm phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-1, -2, 3)$. - Mặt phẳng (P) chứa A và B, do đó vectơ pháp tuyến của (P) sẽ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. 2. Lập phương trình mặt phẳng (P): - Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng $ax + by + cz + d = 0$. - Vì (P) chứa điểm A(1, 0, 0), thay vào phương trình ta có: $a + d = 0 \Rightarrow d = -a$. - Phương trình mặt phẳng trở thành: $ax + by + cz - a = 0$. 3. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P): - Khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là: \[ \text{Khoảng cách} = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Thay tọa độ của C(1, 1, 1) vào phương trình mặt phẳng: \[ \frac{|a(1) + b(1) + c(1) - a|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ \frac{|b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] 4. Xác định các giá trị của a, b, c: - Ta thử các phương án đã cho để tìm ra phương trình đúng: - Phương án A: $2x + 3y + z - 1 = 0$ và $3x + y + 7z + 6 = 0$ - Kiểm tra khoảng cách từ C(1, 1, 1) đến $2x + 3y + z - 1 = 0$: \[ \frac{|2(1) + 3(1) + 1 - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 + 1 - 1|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{14}} \neq \frac{2}{\sqrt{3}} \] - Kiểm tra khoảng cách từ C(1, 1, 1) đến $3x + y + 7z + 6 = 0$: \[ \frac{|3(1) + 1(1) + 7(1) + 6|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + 7^2}} = \frac{|3 + 1 + 7 + 6|}{\sqrt{9 + 1 + 49}} = \frac{17}{\sqrt{59}} \neq \frac{2}{\sqrt{3}} \] - Phương án B: $x + 2y + z - 1 = 0$ và $-2x + 3y + 6z + 13 = 0$ - Kiểm tra khoảng cách từ C(1, 1, 1) đến $x + 2y + z - 1 = 0$: \[ \frac{|1(1) + 2(1) + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 2 + 1 - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} \neq \frac{2}{\sqrt{3}} \] - Kiểm tra khoảng cách từ C(1, 1, 1) đến $-2x + 3y + 6z + 13 = 0$: \[ \frac{|-2(1) + 3(1) + 6(1) + 13|}{\sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{|-2 + 3 + 6 + 13|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{20}{\sqrt{49}} = \frac{20}{7} \neq \frac{2}{\sqrt{3}} \] - Phương án C: $x + y + 2z - 1 = 0$ và $-2x + 3y + 7z + 23 = 0$ - Kiểm tra khoảng cách từ C(1, 1, 1) đến $x + y + 2z - 1 = 0$: \[ \frac{|1(1) + 1(1) + 2(1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 1 + 2 - 1|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} \neq \frac{2}{\sqrt{3}} \] - Kiểm tra khoảng cách từ C(1, 1, 1) đến $-2x + 3y + 7z + 23 = 0$: \[ \frac{|-2(1) + 3(1) + 7(1) + 23|}{\sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 7^2}} = \frac{|-2 + 3 + 7 + 23|}{\sqrt{4 + 9 + 49}} = \frac{31}{\sqrt{62}} \neq \frac{2}{\sqrt{3}} \] - Phương án D: $x + y + z - 1 = 0$ và $-23x + 37y + 17z + 23 = 0$ - Kiểm tra khoảng cách từ C(1, 1, 1) đến $x + y + z - 1 = 0$: \[ \frac{|1(1) + 1(1) + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 1 + 1 - 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] - Kiểm tra khoảng cách từ C(1, 1, 1) đến $-23x + 37y + 17z + 23 = 0$: \[ \frac{|-23(1) + 37(1) + 17(1) + 23|}{\sqrt{(-23)^2 + 37^2 + 17^2}} = \frac{|-23 + 37 + 17 + 23|}{\sqrt{529 + 1369 + 289}} = \frac{54}{\sqrt{2187}} = \frac{54}{27\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] Do đó, phương án đúng là: \[ \boxed{D.\left[\begin{array}cx+y+z-1=0\\-23x+37y+17z+23=0\end{array}\right.} \] Câu 47. Để viết phương trình mặt phẳng chứa OQ và cách đều hai điểm M và N, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa OQ: - Vectơ $\overrightarrow{OQ} = (2, 0, 1)$. - Mặt phẳng chứa OQ sẽ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a, b, c)$. 2. Tìm phương trình mặt phẳng chứa OQ: - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz = 0$. - Vì mặt phẳng đi qua điểm O(0,0,0), nên phương trình này đúng. 3. Tìm điều kiện để mặt phẳng cách đều hai điểm M và N: - Khoảng cách từ điểm M(4,2,1) đến mặt phẳng là: \[ d_M = \frac{|4a + 2b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Khoảng cách từ điểm N(0,0,3) đến mặt phẳng là: \[ d_N = \frac{|3c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Để mặt phẳng cách đều hai điểm M và N, ta có: \[ |4a + 2b + c| = |3c| \] 4. Giải phương trình |4a + 2b + c| = |3c|: - Ta có hai trường hợp: - Trường hợp 1: $4a + 2b + c = 3c$ \[ 4a + 2b = 2c \quad \Rightarrow \quad 2a + b = c \] - Trường hợp 2: $4a + 2b + c = -3c$ \[ 4a + 2b = -4c \quad \Rightarrow \quad 2a + b = -2c \] 5. Xác định vectơ pháp tuyến trong mỗi trường hợp: - Trường hợp 1: $c = 2a + b$. Chọn $a = 1$, $b = 0$, $c = 2$ thì vectơ pháp tuyến là $(1, 0, 2)$. \[ \text{Phương trình mặt phẳng: } x + 2z = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2y - 2z = 0 \] - Trường hợp 2: $c = -2a - b$. Chọn $a = 1$, $b = 0$, $c = -2$ thì vectơ pháp tuyến là $(1, 0, -2)$. \[ \text{Phương trình mặt phẳng: } x - 2z = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 4y - 2z = 0 \] 6. Kiểm tra lại các phương án: - Phương án A: $x - 2y - 2z = 0$ hoặc $x + 4y - 2z = 0$. - Phương án B: $x + 2y + 2z = 0$ hoặc $x - 4y - 2z = 0$. - Phương án C: $x + 2y - 2z = 0$ hoặc $x + 4y - 2z = 0$. - Phương án D: $x + 2y - 2z = 0$ hoặc $x - 4y - 2z = 0$. Vậy phương án đúng là: \[ \boxed{D.~x + 2y - 2z = 0 \text{ hoặc } x - 4y - 2z = 0} \] Câu 48. Để viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng $(Q):~x+y+z=0$ và cách điểm $M(1;2;-1)$ một khoảng bằng $\sqrt2$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) - Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng $(Q):~x+y+z=0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của (P) sẽ song song với vectơ pháp tuyến của (Q). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q):~x+y+z=0$ là $\vec{n_Q} = (1, 1, 1)$. - Vì (P) qua O và vuông góc với (Q), vectơ pháp tuyến của (P) cũng là $\vec{n_P} = (1, 1, 1)$. Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) - Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: $x + y + z + d = 0$. - Vì (P) đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0), thay vào phương trình ta có: \[ 0 + 0 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = 0 \] - Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: $x + y + z = 0$. Bước 3: Kiểm tra khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) - Khoảng cách từ điểm $M(1, 2, -1)$ đến mặt phẳng $x + y + z = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 2 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \neq \sqrt{2} \] - Kết quả này không thỏa mãn yêu cầu khoảng cách là $\sqrt{2}$. Do đó, ta cần điều chỉnh phương trình mặt phẳng (P) để thoả mãn điều kiện khoảng cách. Bước 4: Điều chỉnh phương trình mặt phẳng (P) - Ta cần tìm giá trị của $d$ sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng mới là $\sqrt{2}$. - Thay vào công thức khoảng cách: \[ \sqrt{2} = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + d|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} \] \[ \sqrt{2} = \frac{|1 + 2 - 1 + d|}{\sqrt{3}} \] \[ \sqrt{2} = \frac{|2 + d|}{\sqrt{3}} \] \[ |2 + d| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} \] - Giải phương trình: \[ 2 + d = \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad 2 + d = -\sqrt{6} \] \[ d = \sqrt{6} - 2 \quad \text{hoặc} \quad d = -\sqrt{6} - 2 \] - Vậy phương trình mặt phẳng (P) có thể là: \[ x + y + z + (\sqrt{6} - 2) = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + y + z + (-\sqrt{6} - 2) = 0 \] Kết luận: Phương trình mặt phẳng (P) là: \[ x + y + z + \sqrt{6} - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + y + z - \sqrt{6} - 2 = 0 \] Câu 49. Để viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A$ và $B$, đồng thời khoảng cách từ điểm $I$ đến $(P)$ bằng $\sqrt{3}$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các vectơ - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1); 1 - 1; 1 - 0) = (2; 0; 1)$ - Vectơ $\overrightarrow{AI} = I - A = (1 - (-1); 1 - 1; 1 - 0) = (2; 0; 1)$ Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ - Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và song song với vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AI}$. - Ta cần tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(P)$ bằng cách tính tích vector của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AI}$: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AI} \] Tính tích vector: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (0; 0; 0) \] Do $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AI}$ trùng nhau, ta cần chọn lại điểm khác để tìm vectơ pháp tuyến. Chọn điểm $N$ thay vì $I$: - Vectơ $\overrightarrow{AN} = N - A = (0 - (-1); 0 - 1; -2 - 0) = (1; -1; -2)$ Tính tích vector: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AN} \] \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) = (1; 5; -2) \] Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(-1; 1; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 5; -2)$ là: \[ 1(x + 1) + 5(y - 1) - 2(z - 0) = 0 \] \[ x + 1 + 5y - 5 - 2z = 0 \] \[ x + 5y - 2z - 4 = 0 \] Bước 4: Kiểm tra khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ Khoảng cách từ điểm $I(1; 1; 1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là: \[ d = \frac{|1 + 5 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + 5^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 + 5 - 2 - 4|}{\sqrt{1 + 25 + 4}} = \frac{|0|}{\sqrt{30}} = 0 \] Do khoảng cách không đúng, ta cần điều chỉnh phương trình mặt phẳng $(P)$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ bằng $\sqrt{3}$. Bước 5: Điều chỉnh phương trình mặt phẳng $(P)$ Ta có phương trình mặt phẳng $(P)$ là: \[ x + 5y - 2z + d = 0 \] Khoảng cách từ điểm $I(1; 1; 1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là: \[ d = \frac{|1 + 5 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + d|}{\sqrt{1^2 + 5^2 + (-2)^2}} = \sqrt{3} \] \[ \frac{|1 + 5 - 2 + d|}{\sqrt{30}} = \sqrt{3} \] \[ \frac{|4 + d|}{\sqrt{30}} = \sqrt{3} \] \[ |4 + d| = \sqrt{3} \cdot \sqrt{30} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \] Do đó: \[ 4 + d = 3\sqrt{10} \quad \text{hoặc} \quad 4 + d = -3\sqrt{10} \] \[ d = 3\sqrt{10} - 4 \quad \text{hoặc} \quad d = -3\sqrt{10} - 4 \] Kết luận Phương trình mặt phẳng $(P)$ có thể là: \[ x + 5y - 2z + 3\sqrt{10} - 4 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 5y - 2z - 3\sqrt{10} - 4 = 0 \] Câu 50. Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và B, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. - Vectơ AB: $\overrightarrow{AB} = (1-1, 3+1, 0-2) = (0, 4, -2)$. - Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (a, b, c)$. 2. Phương trình mặt phẳng (P): - Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1, -1, 2) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a, b, c)$ là: \[ a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0 \] 3. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: - Khoảng cách từ điểm C(-3, 4, 1) đến mặt phẳng (P) là: \[ d_C = \frac{|a(-3 - 1) + b(4 + 1) + c(1 - 2)|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|-4a + 5b - c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Khoảng cách từ điểm D(1, 2, 1) đến mặt phẳng (P) là: \[ d_D = \frac{|a(1 - 1) + b(2 + 1) + c(1 - 2)|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|3b - c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] 4. Điều kiện khoảng cách: - Theo đề bài, khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P): \[ \frac{|-4a + 5b - c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|3b - c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Điều này dẫn đến: \[ |-4a + 5b - c| = |3b - c| \] 5. Giải phương trình: - Ta có hai trường hợp: - Trường hợp 1: $-4a + 5b - c = 3b - c$ \[ -4a + 5b - c = 3b - c \implies -4a + 2b = 0 \implies 2b = 4a \implies b = 2a \] - Trường hợp 2: $-4a + 5b - c = -(3b - c)$ \[ -4a + 5b - c = -3b + c \implies -4a + 8b = 2c \implies -2a + 4b = c \] 6. Chọn vectơ pháp tuyến: - Chọn $a = 1$, ta có $b = 2$ và $c = 2$ (từ trường hợp 1). - Vậy vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1, 2, 2)$. 7. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 1(x - 1) + 2(y + 1) + 2(z - 2) = 0 \] \[ x - 1 + 2y + 2 + 2z - 4 = 0 \] \[ x + 2y + 2z - 3 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ x + 2y + 2z - 3 = 0 \] Câu 51. Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và O, do đó vectơ OA sẽ nằm trong mặt phẳng này. Ta cần tìm thêm một vectơ khác nằm trong mặt phẳng để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). 2. Tìm vectơ OA: \[ \overrightarrow{OA} = (1 - 0, 2 - 0, 3 - 0) = (1, 2, 3) \] 3. Tìm vectơ OB và OC: \[ \overrightarrow{OB} = (0 - 0, -1 - 0, 2 - 0) = (0, -1, 2) \] \[ \overrightarrow{OC} = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1) \] 4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua O và A, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ vuông góc với cả \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\) hoặc \(\overrightarrow{OC}\). Ta chọn \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OC}\) để tìm vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (P) là tích vector của \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OC}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC} \] Tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(1) - (2)(1)) - \mathbf{j}((0)(1) - (2)(1)) + \mathbf{k}((0)(1) - (-1)(1)) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(-1 - 2) - \mathbf{j}(0 - 2) + \mathbf{k}(0 + 1) = -3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} \] \[ \overrightarrow{n} = (-3, 2, 1) \] 5. Viết phương trình mặt phẳng (P): Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O(0, 0, 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (-3, 2, 1)\) là: \[ -3x + 2y + z = 0 \] 6. Kiểm tra điều kiện khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P): Khoảng cách từ điểm \(M(x_1, y_1, z_1)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào điểm B(0, -1, 2) và C(1, 1, 1): \[ d_B = \frac{|-3(0) + 2(-1) + 1(2)|}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 2|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{14}} = 0 \] \[ d_C = \frac{|-3(1) + 2(1) + 1(1)|}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-3 + 2 + 1|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{14}} = 0 \] Vì cả hai khoảng cách đều bằng 0, điều kiện đã được thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ \boxed{-3x + 2y + z = 0} \] Câu 52. Để viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(1;1;-1)$, vuông góc với mặt phẳng $(P): x - 2y + 2z + 1 = 0$, và cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $I$ sao cho $IB = 2IC$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 2y + 2z + 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n}_P = (1, -2, 2)$. Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, do đó vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ phải vuông góc với $\vec{n}_P$. Ta chọn vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\vec{n}_\alpha = (a, b, c)$ sao cho: \[ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_P = 0 \] \[ a \cdot 1 + b \cdot (-2) + c \cdot 2 = 0 \] \[ a - 2b + 2c = 0 \] Bước 3: Tìm điểm $I$ trên đường thẳng $BC$ Đường thẳng $BC$ có hai điểm $B(1, 1, 2)$ và $C(-1, 2, -2)$. Vectơ $\overrightarrow{BC} = (-2, 1, -4)$. Ta cần tìm điểm $I$ trên đường thẳng $BC$ sao cho $IB = 2IC$. Gọi $I$ có tọa độ $(x, y, z)$. Ta có: \[ \overrightarrow{BI} = k \overrightarrow{BC} \] \[ (x - 1, y - 1, z - 2) = k (-2, 1, -4) \] Do $IB = 2IC$, ta có: \[ |k| = 2 \] \[ k = 2 \text{ hoặc } k = -2 \] Lấy $k = 2$ (vì $IB = 2IC$): \[ x - 1 = 2(-2) \Rightarrow x = -3 \] \[ y - 1 = 2(1) \Rightarrow y = 3 \] \[ z - 2 = 2(-4) \Rightarrow z = -6 \] Vậy điểm $I$ có tọa độ $(-3, 3, -6)$. Bước 4: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(1, 1, -1)$ và điểm $I(-3, 3, -6)$. Vectơ $\overrightarrow{AI} = (-4, 2, -5)$. Ta cần tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha$ của mặt phẳng $(\alpha)$: \[ \vec{n}_\alpha = \overrightarrow{AI} \times \vec{n}_P \] Tính tích vector: \[ \vec{n}_\alpha = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 2 & -5 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}(2 \cdot 2 - (-5) \cdot (-2)) - \mathbf{j}((-4) \cdot 2 - (-5) \cdot 1) + \mathbf{k}((-4) \cdot (-2) - 2 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(4 - 10) - \mathbf{j}(-8 + 5) + \mathbf{k}(8 - 2) \] \[ = -6\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 6\mathbf{k} \] \[ = (-6, 3, 6) \] Bước 5: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(1, 1, -1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (-6, 3, 6)$ là: \[ -6(x - 1) + 3(y - 1) + 6(z + 1) = 0 \] \[ -6x + 6 + 3y - 3 + 6z + 6 = 0 \] \[ -6x + 3y + 6z + 9 = 0 \] \[ -2x + y + 2z + 3 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ -2x + y + 2z + 3 = 0 \]