chi tiết giueps em ak

3. Để tính quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng đã chạy trong mỗi buổi sáng, ta cần vẽ sơ đồ và áp dụng định lý Pythagoras. Trước hết, ta vẽ sơ đồ: - Nhà thầy Hùng ở điểm A. - Bờ biển ở đoạn thẳng BC, với B là điểm gần nhà thầy Hùng nhất. - Chợ hải sản ở điểm D, cách bờ biển 400 m và cách nhà thầy Hùng 1 km. Ta có: - AB = 1 km = 1000 m - BD = 400 m - AD = 1 km = 1000 m Ta cần tính quãng đường AC + CD + DA, trong đó C là điểm trên bờ biển cách B 500 m. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABD: \[ AD^2 = AB^2 + BD^2 \] \[ 1000^2 = 1000^2 + 400^2 \] \[ 1000^2 = 1000^2 + 160000 \] \[ 1000^2 - 1000^2 = 160000 \] \[ 0 = 160000 \] Do đó, ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1000^2 + 500^2} = \sqrt{1000000 + 250000} = \sqrt{1250000} = 1118.03 \text{ m} \] Quãng đường CD = 400 m. Quãng đường DA = 1000 m. Tổng quãng đường ngắn nhất: \[ AC + CD + DA = 1118.03 + 400 + 1000 = 2518.03 \text{ m} \] Đáp số: 2518 m. 4. Để tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x + 1 - x^2 + x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \Rightarrow \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm để tìm các điểm cực trị: - Khi $x < 0$, $y' < 0$ - Khi $0 < x < 1$, $y' > 0$ - Khi $1 < x < 2$, $y' < 0$ - Khi $x > 2$, $y' > 0$ Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và cực tiểu tại $x = 2$. Bước 4: Tính giá trị cực đại và cực tiểu: - Giá trị cực đại: $y(0) = \frac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = -1$ - Giá trị cực tiểu: $y(2) = \frac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = 3$ Bước 5: Tính $3a + 2b$: \[ 3a + 2b = 3(-1) + 2(3) = -3 + 6 = 3 \] Đáp số: 3. 5. Để tính tổng quãng đường quả bóng di chuyển kể từ lúc thả cho đến khi dừng lại, ta áp dụng công thức tổng của dãy số vô hạn: Bước 1: Tính tổng quãng đường ban đầu: \[ S_1 = 8 \text{ m} \] Bước 2: Tính tổng quãng đường sau mỗi lần nảy: \[ S_2 = 8 \times \frac{3}{4} = 6 \text{ m} \] \[ S_3 = 6 \times \frac{3}{4} = 4.5 \text{ m} \] \[ S_4 = 4.5 \times \frac{3}{4} = 3.375 \text{ m} \] \[ \vdots \] Bước 3: Tính tổng quãng đường vô hạn: \[ S = S_1 + 2(S_2 + S_3 + S_4 + \cdots) \] Công thức tổng của dãy số vô hạn: \[ S = a + 2 \left( \frac{a \cdot r}{1 - r} \right) \] \[ S = 8 + 2 \left( \frac{8 \cdot \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} \right) \] \[ S = 8 + 2 \left( \frac{8 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} \right) \] \[ S = 8 + 2 \left( 8 \cdot 3 \right) \] \[ S = 8 + 2 \cdot 24 \] \[ S = 8 + 48 \] \[ S = 56 \text{ m} \] Đáp số: 56 m. 6. Để tính tổng hoành độ của M và tung độ của N khi $AM + BN$ nhỏ nhất, ta áp dụng phương pháp hình học: Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm: - $A(1; 2; 3)$ - $B(7; 10; 6)$ - $M(x_1; y_1; 0)$ - $N(x_2; y_2; 0)$ Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách: \[ AM = \sqrt{(x_1 - 1)^2 + (y_1 - 2)^2 + 3^2} \] \[ BN = \sqrt{(x_2 - 7)^2 + (y_2 - 10)^2 + 6^2} \] Bước 3: Tìm điều kiện để $AM + BN$ nhỏ nhất: - Khi $M$ và $N$ nằm trên đường thẳng nối $A$ và $B$ và $MN = 4$. Bước 4: Tính tổng hoành độ của M và tung độ của N: - Khi $M$ và $N$ nằm trên đường thẳng nối $A$ và $B$, ta có: \[ x_1 + x_2 = 1 + 7 = 8 \] \[ y_1 + y_2 = 2 + 10 = 12 \] Tổng hoành độ của M và tung độ của N: \[ x_1 + y_2 = 8 + 12 = 20 \] Đáp số: 20.