Giải giúp tôi

Câu 1. Để tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{8}{x-2} + 5 = \frac{3}{x-3}$, ta cần đảm bảo rằng các mẫu số của các phân thức không bằng không. 1. Mẫu số của phân thức đầu tiên là \(x - 2\). Để phân thức này có nghĩa, ta cần: \[ x - 2 \neq 0 \] \[ x \neq 2 \] 2. Mẫu số của phân thức thứ hai là \(x - 3\). Để phân thức này có nghĩa, ta cần: \[ x - 3 \neq 0 \] \[ x \neq 3 \] Do đó, điều kiện xác định của phương trình là \(x\) phải khác cả 2 và 3. Vậy điều kiện xác định là: \[ x \neq 2 \text{ và } x \neq 3 \] Đáp án đúng là: C. \(x \neq 2\) và \(x \neq 3\). Câu 2. Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng \(ax + by = c\), trong đó \(a\), \(b\), và \(c\) là các hằng số, và \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình: A. \(3x - 2y = 0\) - Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \(ax + by = c\) với \(a = 3\), \(b = -2\), và \(c = 0\). B. \(\sqrt{4}x + 3y = 7\) - Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \(ax + by = c\) với \(a = 2\) (vì \(\sqrt{4} = 2\)), \(b = 3\), và \(c = 7\). C. \(0x + 0y = 5\) - Đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(a = 0\) và \(b = 0\), và \(c = 5\). Phương trình này không có nghiệm vì 0 không thể bằng 5. D. \(0x - 6y = 6\) - Đây là phương trình bậc nhất một ẩn vì nó có dạng \(by = c\) với \(b = -6\) và \(c = 6\). Vậy phương trình không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn là: C. \(0x + 0y = 5\) Đáp án: C. \(0x + 0y = 5\) Câu 3. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{9a} - \sqrt{16a} + \sqrt{64a}$ với $a \geq 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm căn bậc hai của từng số hạng: - $\sqrt{9a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$ - $\sqrt{16a} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a} = 4\sqrt{a}$ - $\sqrt{64a} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a} = 8\sqrt{a}$ 2. Thay các giá trị đã tìm vào biểu thức: \[ \sqrt{9a} - \sqrt{16a} + \sqrt{64a} = 3\sqrt{a} - 4\sqrt{a} + 8\sqrt{a} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ 3\sqrt{a} - 4\sqrt{a} + 8\sqrt{a} = (3 - 4 + 8)\sqrt{a} = 7\sqrt{a} \] Vậy, kết quả của biểu thức là: \[ 7\sqrt{a} \] Do đó, đáp án đúng là: C. $7\sqrt{a}$ Câu 4. Để biểu thức $\sqrt{3x-6}$ xác định, ta cần: \[3x - 6 \geq 0\] Giải bất phương trình này: \[3x \geq 6\] \[x \geq 2\] Vậy biểu thức $\sqrt{3x-6}$ xác định khi: \[x \geq 2\] Đáp án đúng là: C. $x \geq 2$. Câu 5. Câu hỏi: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn? A. $0x + 2 < 0$ B. $7 - x^2 \geq 0$ C. $-5x < 0$ D. $x^3 - 4 \leq 0$ Câu trả lời: Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng $ax + b < 0$, $ax + b > 0$, $ax + b \leq 0$, hoặc $ax + b \geq 0$, trong đó $a$ và $b$ là hằng số và $a \neq 0$. Ta xét từng trường hợp: A. $0x + 2 < 0$ - Đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì nó có dạng $ax + b < 0$ với $a = 0$ và $b = 2$. Tuy nhiên, $a = 0$ nên không đúng theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn. B. $7 - x^2 \geq 0$ - Đây là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có chứa $x^2$. C. $-5x < 0$ - Đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì nó có dạng $ax + b < 0$ với $a = -5$ và $b = 0$. D. $x^3 - 4 \leq 0$ - Đây là bất phương trình bậc ba một ẩn vì có chứa $x^3$. Vậy đáp án đúng là: C. $-5x < 0$ Câu 6. Độ dài cung có số đo 30° của một đường tròn có bán kính 4dm là: Độ dài cung = $\frac{30}{360}$ × 2πr = $\frac{1}{12}$ × 2π × 4 = $\frac{2π}{3}$ (dm) Vậy đáp án đúng là D. $\frac{2π}{3}$ (dm). Câu 7. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn. 1. Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung: - Đường thẳng nằm hoàn toàn bên ngoài đường tròn và không cắt qua đường tròn. 2. Đường thẳng và đường tròn có một điểm chung: - Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất. Đây là trường hợp đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. 3. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung: - Đường thẳng cắt qua đường tròn tại hai điểm khác nhau. Đây là trường hợp đường thẳng là dây cung của đường tròn. Như vậy, đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung? Câu trả lời là: - Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất 2 điểm chung. Do đó, đáp án đúng là: B. 2 Đáp số: B. 2 Câu 8. Ta biết rằng nếu $\alpha$ và $\beta$ là hai góc nhọn và $\alpha + \beta = 90^\circ$, thì $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau. Trong tam giác vuông, nếu một góc là $\alpha$ thì góc kia sẽ là $\beta = 90^\circ - \alpha$. Các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau có mối liên hệ sau: - $\sin \alpha = \cos \beta$ - $\cos \alpha = \sin \beta$ - $\tan \alpha = \cot \beta$ - $\cot \alpha = \tan \beta$ Do đó, ta có: - $\tan \alpha = \cot \beta$ Vậy khẳng định đúng là: B. $\tan \alpha = \cot \beta$ Câu 9. Khi cộng hai vế của bất đẳng thức $m > 3$ với 3, ta thực hiện như sau: Bước 1: Lấy bất đẳng thức ban đầu: \[ m > 3 \] Bước 2: Cộng 3 vào cả hai vế của bất đẳng thức: \[ m + 3 > 3 + 3 \] Bước 3: Tính toán ở vế phải: \[ m + 3 > 6 \] Vậy, đáp án đúng là: A. $m + 3 > 6$ Câu 10. Để thí sinh được vào vòng thi tiếp theo, tổng số điểm của thí sinh phải đạt ít nhất 50 điểm. Ban đầu mỗi thí sinh có 20 điểm, do đó thí sinh cần thêm ít nhất 30 điểm nữa từ việc trả lời các câu hỏi. Giả sử thí sinh trả lời đúng \( x \) câu hỏi và sai \( y \) câu hỏi. Ta có: \[ x + y = 12 \] \[ 5x - 2y \geq 30 \] Thay \( y = 12 - x \) vào phương trình thứ hai: \[ 5x - 2(12 - x) \geq 30 \] \[ 5x - 24 + 2x \geq 30 \] \[ 7x - 24 \geq 30 \] \[ 7x \geq 54 \] \[ x \geq \frac{54}{7} \approx 7.71 \] Vì \( x \) phải là số nguyên, nên \( x \) ít nhất phải là 8. Vậy thí sinh phải trả lời đúng ít nhất 8 câu để được vào vòng thi tiếp theo. Đáp án: D. 8 Câu 11. Để tìm góc tạo bởi đường đi thẳng của bóng so với mặt đất, ta cần sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. Trước tiên, ta xác định các thông số đã biết: - Chiều cao của xà ngang cầu môn là 2,4m. - Khoảng cách từ vị trí sút bóng đến vạch ngang chân cầu môn là 25m. Ta sẽ sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tìm góc tạo bởi đường đi thẳng của bóng so với mặt đất. Ta gọi góc này là $\alpha$. Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ là: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{2,4}{25} \] Bây giờ, ta tính giá trị của $\tan(\alpha)$: \[ \tan(\alpha) = \frac{2,4}{25} = 0,096 \] Tiếp theo, ta sử dụng bảng số đo góc hoặc máy tính để tìm góc $\alpha$: \[ \alpha = \arctan(0,096) \approx 5^\circ 29' \] Vậy góc tạo bởi đường đi thẳng của bóng so với mặt đất là khoảng 5 độ 29 phút. Đáp số: 5 độ 29 phút.