Giải giùm câu 1 ạ

Câu 1. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho bất đẳng thức \( -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m < 0 \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xét dấu của hệ số \( a \): Trong bất đẳng thức \( -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m < 0 \), hệ số của \( x^2 \) là \( -1 \). Vì \( -1 < 0 \), parabol mở xuống. 2. Xét điều kiện để bất đẳng thức đúng với mọi \( x \): Để bất đẳng thức \( -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m < 0 \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), phương trình \( -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m = 0 \) phải không có nghiệm thực. Điều này tương đương với дискриминант \( D \) của phương trình phải nhỏ hơn 0. 3. Tính дискриминант \( D \): Phương trình \( -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m = 0 \) có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = -1 \), \( b = 2(m+1) \), và \( c = -m^2 + m \). Discriminant \( D \) được tính bằng công thức: \[ D = b^2 - 4ac \] Thay các giá trị vào: \[ D = [2(m+1)]^2 - 4(-1)(-m^2 + m) \] \[ D = 4(m+1)^2 - 4(m^2 - m) \] \[ D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - m) \] \[ D = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 + 4m \] \[ D = 12m + 4 \] 4. Đặt điều kiện để \( D < 0 \): Để bất đẳng thức \( -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m < 0 \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần: \[ 12m + 4 < 0 \] \[ 12m < -4 \] \[ m < -\frac{1}{3} \] Vậy, giá trị của \( m \) sao cho bất đẳng thức \( -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m < 0 \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \) là: \[ m < -\frac{1}{3} \] Câu 2. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \( x^2 + mx + 3m \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức \( x^2 + mx + 3m \) luôn dương hoặc bằng 0 với mọi giá trị của \( x \). Điều này tương đương với việc phương trình \( x^2 + mx + 3m = 0 \) không có hai nghiệm phân biệt, tức là дискриминант \( D \leq 0 \). Bước 1: Tính дискриминант \( D \) của phương trình \( x^2 + mx + 3m = 0 \): \[ D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3m = m^2 - 12m \] Bước 2: Đặt điều kiện để дискриминант \( D \leq 0 \): \[ m^2 - 12m \leq 0 \] Bước 3: Giải bất phương trình \( m^2 - 12m \leq 0 \): \[ m(m - 12) \leq 0 \] Bước 4: Xác định khoảng giá trị của \( m \) thỏa mãn bất phương trình: - \( m = 0 \) hoặc \( m = 12 \) - Kiểm tra các khoảng giữa các nghiệm: \( m \in [0, 12] \) Vậy, giá trị của \( m \) sao cho \( x^2 + mx + 3m \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \) là: \[ m \in [0, 12] \] Đáp số: \( m \in [0, 12] \) Câu 3. Để giải bất phương trình $(x^2 - 3x + 2)(-x^2 + 5x - 6) \geq 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nghiệm của mỗi đa thức trong tích. - Xét đa thức $x^2 - 3x + 2$: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] - Xét đa thức $-x^2 + 5x - 6$: \[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = -1$, $b = 5$, $c = -6$: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{-2} = \frac{-5 \pm 1}{-2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 + 1}{-2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 1}{-2} = 3 \] Bước 2: Xác định dấu của mỗi đa thức trong các khoảng xác định bởi các nghiệm. - Đa thức $x^2 - 3x + 2$ có nghiệm là $x = 1$ và $x = 2$. Ta xét dấu của nó trong các khoảng $( -\infty, 1 )$, $( 1, 2 )$, và $( 2, +\infty )$: - Khi $x < 1$: Chọn $x = 0$, ta có $0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0$ - Khi $1 < x < 2$: Chọn $x = 1.5$, ta có $1.5^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0$ - Khi $x > 2$: Chọn $x = 3$, ta có $3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0$ - Đa thức $-x^2 + 5x - 6$ có nghiệm là $x = 2$ và $x = 3$. Ta xét dấu của nó trong các khoảng $( -\infty, 2 )$, $( 2, 3 )$, và $( 3, +\infty )$: - Khi $x < 2$: Chọn $x = 1$, ta có $-1^2 + 5 \cdot 1 - 6 = -1 + 5 - 6 = -2 < 0$ - Khi $2 < x < 3$: Chọn $x = 2.5$, ta có $-(2.5)^2 + 5 \cdot 2.5 - 6 = -6.25 + 12.5 - 6 = 0.25 > 0$ - Khi $x > 3$: Chọn $x = 4$, ta có $-4^2 + 5 \cdot 4 - 6 = -16 + 20 - 6 = -2 < 0$ Bước 3: Xác định dấu của tích $(x^2 - 3x + 2)(-x^2 + 5x - 6)$ trong các khoảng xác định bởi các nghiệm. - Khi $x < 1$: $(x^2 - 3x + 2) > 0$ và $(-x^2 + 5x - 6) < 0$, do đó tích $(x^2 - 3x + 2)(-x^2 + 5x - 6) < 0$ - Khi $1 < x < 2$: $(x^2 - 3x + 2) < 0$ và $(-x^2 + 5x - 6) < 0$, do đó tích $(x^2 - 3x + 2)(-x^2 + 5x - 6) > 0$ - Khi $2 < x < 3$: $(x^2 - 3x + 2) > 0$ và $(-x^2 + 5x - 6) > 0$, do đó tích $(x^2 - 3x + 2)(-x^2 + 5x - 6) > 0$ - Khi $x > 3$: $(x^2 - 3x + 2) > 0$ và $(-x^2 + 5x - 6) < 0$, do đó tích $(x^2 - 3x + 2)(-x^2 + 5x - 6) < 0$ Bước 4: Kết luận nghiệm của bất phương trình. Tích $(x^2 - 3x + 2)(-x^2 + 5x - 6) \geq 0$ khi: \[ 1 \leq x \leq 2 \quad \text{hoặc} \quad 2 \leq x \leq 3 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ [1, 2] \cup [2, 3] = [1, 3] \] Đáp số: $[1, 3]$