Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O;R) kẽ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD với đường tròn (O) ( C nằm giữa M và D, O nằm ngoài góc AMD). Gọi H là giao điểm của MO và AB. Gọi I là...

SOS

**Step1. Chứng minh \(\triangle OCI \sim \triangle OMK\)**

Ta có: MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên \(OA \perp MA\) và \(OB \perp MB\).

OA = OB = R.  

Suy ra, tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO.

\( \angle MAB = \angle MBO\) (cùng chắn cung MB)

\( \angle MOA = \angle MHA = 90^\circ \)

Trong \(\triangle OCI\), OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC, nên \(OI = \frac{CD}{2}\).

Trong \(\triangle OMK\), OK là đường cao.

Xét \(\triangle OCI\) và \(\triangle OMK\), ta có:

\(\angle COI = \angle MOK\) (đối đỉnh)

\(\angle OCI = \angle OMK\) (cùng chắn cung AC)

Vậy \(\triangle OCI \sim \triangle OMK\) (g.g)

Từ \(\triangle OCI \sim \triangle OMK\), ta có:

\(\frac{OI}{OM} = \frac{OK}{OC}\)

\(OI \times OC = OM \times OK\) (1)

Trong \(\triangle OAM\), \(OA \perp AM\), áp dụng định lý Pytago:

\(OM^2 = OA^2 + AM^2 = R^2 + AM^2\)

Trong \(\triangle OAH\), \(OA \perp AH\), áp dụng định lý Pytago:

\(OH^2 = OA^2 + AH^2 = R^2 + AH^2\)

Ta có: \(OH \times OM = OH \times \sqrt{R^2 + AM^2}\)

\(OI \times OK = OI \times \frac{OI \times OC}{OM}\)

Từ (1), ta có: \(OI \times OK = OH \times OM\)

Xét \(\triangle KCD\), ta có I là trung điểm CD, KI là đường trung tuyến.

\(\angle OIK = 90^\circ\)

\(\angle OKI = \angle OKC\)

\(\angle OIC = \angle OID = 90^\circ\)

\(OI \perp CD\) tại I.

Xét \(\triangle OKC\) và \(\triangle OKD\), ta có:

OK chung

OC = OD = R

\(KC = KD\) (do I là trung điểm CD)

\(\triangle OKC = \triangle OKD\) (c.c.c)

\(\angle OKC = \angle OKD\)

\(\angle OKC + \angle OKD = 180^\circ\)

\(\angle OKC = \angle OKD = 90^\circ\)

Vậy KC và KD là tiếp tuyến của (O).