Dfghgeeghj

Câu 1. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + \frac{2}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^2 + \frac{2}{x}\right) = 2x - \frac{2}{x^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị trong khoảng Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 2x - \frac{2}{x^2} = 0 \] \[ 2x = \frac{2}{x^2} \] \[ x^3 = 1 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại $x = 1$: \[ y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3 \] - Tại $x = \frac{1}{2}$: \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + 4 = 4.25 \] - Tại $x = 2$: \[ y(2) = 2^2 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất Các giá trị của hàm số tại các điểm đã kiểm tra là: - $y(1) = 3$ - $y\left(\frac{1}{2}\right) = 4.25$ - $y(2) = 5$ Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là 3, đạt được khi $x = 1$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + \frac{2}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$ là 3, đạt được khi $x = 1$. Câu 2. Để tìm hình chiếu của điểm \( M(3; -7; 4) \) trên trục Oy, ta cần hiểu rằng hình chiếu của một điểm lên trục Oy sẽ có tọa độ \( (0, y, 0) \). Do đó, hình chiếu của điểm \( M(3; -7; 4) \) trên trục Oy là điểm \( H(0; -7; 0) \). Từ đây, ta có: - \( a = 0 \) - \( b = -7 \) - \( c = 0 \) Giá trị của \( a - b + c \) là: \[ a - b + c = 0 - (-7) + 0 = 0 + 7 + 0 = 7 \] Vậy giá trị của \( a - b + c \) là 7. Câu 3. Để tính tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo, ta cần biết vận tốc và hướng bay của máy bay. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (940 - 800, 550 - 500, 8 - 7) = (140, 50, 1) \] 2. Tính khoảng thời gian đã bay: Thời gian bay từ A đến B là 10 phút. 3. Tìm tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo: Vì máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay, ta có thể nhân vectơ chỉ phương với thời gian để tìm tọa độ mới. Tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo: \[ D = B + \overrightarrow{AB} = (940, 550, 8) + (140, 50, 1) = (940 + 140, 550 + 50, 8 + 1) = (1080, 600, 9) \] 4. Tính giá trị \(x + y + z\): \[ x + y + z = 1080 + 600 + 9 = 1689 \] Vậy giá trị \(x + y + z\) là 1689. Câu 4. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng dữ liệu: Tổng số lượng dữ liệu là 50. 2. Xác định các phần tử của mẫu số liệu: - [250;290): 2 quả - [290;330): 12 quả - [330;370): 19 quả - [370;410): 12 quả - [410;450): 5 quả 3. Tính các chỉ số Q1 và Q3: - Chỉ số Q1 nằm ở vị trí $\frac{1}{4} \times 50 = 12,5$. Do đó, Q1 nằm trong khoảng thứ hai ([290;330)). - Chỉ số Q3 nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 50 = 37,5$. Do đó, Q3 nằm trong khoảng thứ tư ([370;410)). 4. Tính giá trị cụ thể của Q1 và Q3: - Q1 nằm trong khoảng [290;330). Ta tính giá trị cụ thể của Q1: \[ Q1 = 290 + \left( \frac{12,5 - 2}{12} \right) \times (330 - 290) = 290 + \left( \frac{10,5}{12} \right) \times 40 = 290 + 35 = 325 \] - Q3 nằm trong khoảng [370;410). Ta tính giá trị cụ thể của Q3: \[ Q3 = 370 + \left( \frac{37,5 - 33}{12} \right) \times (410 - 370) = 370 + \left( \frac{4,5}{12} \right) \times 40 = 370 + 15 = 385 \] 5. Kết luận: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là từ 325 đến 385. Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là từ 325 đến 385. Câu 1. Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của chiếc hộp kim loại lần lượt là $x, y, z$ (đơn vị: cm). Ta có thể tích của chiếc hộp là: $xyz = 72$ Mặt khác, theo đề bài, chiều dài gấp đôi chiều rộng nên ta có: $x = 2y$ Thay vào biểu thức thể tích ta có: $2y \cdot y \cdot z = 72$ $y^2 \cdot z = 36$ Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: $S = 2(xy + xz + yz)$ Thay $x = 2y$ vào biểu thức trên ta có: $S = 2(2y^2 + 2yz + yz)$ $S = 2(2y^2 + 3yz)$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $S$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Gọi $f(y) = 2(2y^2 + 3yz)$. Ta có: $f'(y) = 2(4y + 3z)$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(y)$, ta cần giải phương trình $f'(y) = 0$: $2(4y + 3z) = 0$ $4y + 3z = 0$ Từ đây ta có: $z = -\frac{4y}{3}$ Thay vào biểu thức $y^2 \cdot z = 36$, ta có: $y^2 \cdot (-\frac{4y}{3}) = 36$ $-\frac{4y^3}{3} = 36$ $y^3 = -27$ $y = -3$ Do đó: $z = -\frac{4(-3)}{3} = 4$ $x = 2y = 2(-3) = -6$ Tuy nhiên, vì chiều dài, chiều rộng và chiều cao đều là đại lượng dương, nên ta cần kiểm tra lại các giá trị này. Ta thấy rằng $y = 3$ và $z = 4$ cũng thỏa mãn phương trình $y^2 \cdot z = 36$. Vậy ta có: $y = 3$ $z = 4$ $x = 2y = 2 \cdot 3 = 6$ Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: $S = 2(2y^2 + 3yz)$ $S = 2(2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 \cdot 4)$ $S = 2(2 \cdot 9 + 36)$ $S = 2(18 + 36)$ $S = 2 \cdot 54$ $S = 108$ Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất đạt được của chiếc hộp là 108 cm². Câu 2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên trên, trục Ox hướng về phía đông, trục Oy hướng về phía nam. Tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ nhất là M(1; 2; 0,5) Tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ hai là N(-1,5; -1; 0,8) Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là: MN = $\sqrt{(1 + 1,5)^2 + (2 + 1)^2 + (0,5 - 0,8)^2} = \sqrt{15,34} \approx 3,92$ (km)