giải đúng giúp mình với ạ Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có $A(1;1;0),~B(-1;0;1),~C(1;-2;3).$,a) Độ dài đoạn thẳng AB là $\sqrt6.$ b) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi $D(3;-1;2).$,c) Biết $E\in Oy,$ khi đó tam giác BCE vuông tại E thì $E(0;-6;0).$,,d)MM à đđểể nằm trêê AA sso hoo $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$ thì độ dài AM bằng $\frac{\sqrt6}3.$

Question

giải đúng giúp mình với ạ Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có $A(1;1;0),~B(-1;0;1),~C(1;-2;3).$,a) Độ dài đoạn thẳng AB là $\sqrt6.$ b) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi $D(3;-1;2).$,c) Biết $E\in Oy,$ khi đó tam giác BCE vuông tại E thì $E(0;-6;0).$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/00b8c592ee3e49d6b7195481e76071b6.jpg />,d)MM à đđểể nằm trêê AA sso  hoo $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$ thì độ dài AM bằng $\frac{\sqrt6}3.$

Accepted Answer

Câu 3.
a) Độ dài đoạn thẳng AB là $\sqrt6.$
- Ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và B:
$$ AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}. $$
Vậy độ dài đoạn thẳng AB là $\sqrt{6}.$

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi $D(3;-1;2).$
- Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.$
- Ta tính $\overrightarrow{AB}:$
$$ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (-2, -1, 1). $$
- Ta tính $\overrightarrow{DC}:$
$$ \overrightarrow{DC} = C - D = (1 - 3, -2 - (-1), 3 - 2) = (-2, -1, 1). $$
- Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC},$ nên tứ giác ABCD là hình bình hành khi $D(3, -1, 2).$

c) Biết $E\in Oy,$ khi đó tam giác BCE vuông tại E thì $E(0;-6;0).$
- Vì $E \in Oy,$ nên tọa độ của E có dạng $(0, y, 0).$
- Để tam giác BCE vuông tại E, ta cần có $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = 0.$
- Ta tính $\overrightarrow{BE}:$
$$ \overrightarrow{BE} = E - B = (0 - (-1), y - 0, 0 - 1) = (1, y, -1). $$
- Ta tính $\overrightarrow{CE}:$
$$ \overrightarrow{CE} = E - C = (0 - 1, y - (-2), 0 - 3) = (-1, y + 2, -3). $$
- Ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE}:$
$$ \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = (1)(-1) + (y)(y + 2) + (-1)(-3) = -1 + y^2 + 2y + 3 = y^2 + 2y + 2. $$
- Để tam giác BCE vuông tại E, ta cần có:
$$ y^2 + 2y + 2 = 0. $$
- Giải phương trình này:
$$ y^2 + 2y + 2 = 0 \Rightarrow (y + 1)^2 + 1 = 0 \Rightarrow (y + 1)^2 = -1. $$
Phương trình này vô nghiệm thực, do đó không có điểm E nào thỏa mãn điều kiện trên.

d) M là điểm nằm trên AB sao cho $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$ thì độ dài AM bằng $\frac{\sqrt6}3.$
- Ta có $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MB},$ tức là M chia đoạn AB theo tỉ số 2:1.
- Ta tính tọa độ của M:
$$ M = \left(\frac{2(-1) + 1}{2+1}, \frac{2(0) + 1}{2+1}, \frac{2(1) + 0}{2+1}\right) = \left(\frac{-2 + 1}{3}, \frac{0 + 1}{3}, \frac{2 + 0}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right). $$
- Ta tính khoảng cách AM:
$$ AM = \sqrt{\left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right)^2 + \left(1 - \frac{1}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}. $$

Đáp số:
a) $\sqrt{6}.$
b) $D(3, -1, 2).$
c) Không có điểm E nào thỏa mãn.
d) $\frac{2\sqrt{6}}{3}.$