tloi giúp tôi câu này với ạ

Câu 37: Gọi cạnh đáy của lăng trụ là $a$, chiều cao lăng trụ là $h$. Biết rằng nếu ta nghiêng lăng trụ 45 độ qua một trong các cạnh của tam giác, thì mặt nước chạm vào góc đối diện của tam giác. Điều này có nghĩa là mặt nước tạo thành một hình tam giác vuông cân với cạnh huyền là $a$ và hai cạnh góc vuông là $\frac{a}{\sqrt{2}}$. Thể tích của lăng trụ ban đầu là: \[ V_{ban\ đầu} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot h \] Thể tích của phần nước trong lăng trụ là: \[ V_{nước} = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot h = \frac{a^2 h}{4} \] Tỷ lệ phần trăm thể tích nước so với thể tích lăng trụ ban đầu là: \[ \frac{V_{nước}}{V_{ban\ đầu}} \times 100 = \frac{\frac{a^2 h}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 h} \times 100 = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 100 \approx 57.7 \% \] Đáp số: 57.7% Câu 38: Gọi số học sinh là \( n \). Số ghế mà các học sinh ngồi quan sát là \( n - 1 \) (vì có 1 học sinh bốc phải thăm "lực sĩ"). Số ghế còn lại để chàng lực sĩ xếp là \( 140 - (n - 1) = 141 - n \). Chàng lực sĩ xếp các chồng ghế theo quy luật: Chồng thứ nhất có 1 chiếc ghế, từ chồng thứ hai trở đi mỗi chồng nhiều hơn chồng liền trước 1 chiếc ghế. Điều này có nghĩa là chàng lực sĩ xếp theo dãy số tự nhiên liên tiếp. Ta cần tìm số chồng ghế mà chàng lực sĩ xếp được. Gọi số chồng ghế là \( k \). Tổng số ghế trong \( k \) chồng là: \[ 1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k(k + 1)}{2} \] Theo đề bài, tổng số ghế này bằng số ghế còn lại: \[ \frac{k(k + 1)}{2} = 141 - n \] Vì số học sinh không quá 19, nên \( n \leq 19 \). Do đó, số ghế còn lại để chàng lực sĩ xếp tối thiểu là: \[ 141 - 19 = 122 \] Ta cần tìm \( k \) sao cho: \[ \frac{k(k + 1)}{2} \geq 122 \] Nhân cả hai vế với 2: \[ k(k + 1) \geq 244 \] Ta thử các giá trị \( k \): - Nếu \( k = 15 \): \[ 15 \times 16 = 240 \quad (\text{không thoả mãn}) \] - Nếu \( k = 16 \): \[ 16 \times 17 = 272 \quad (\text{thoả mãn}) \] Vậy \( k = 16 \) là giá trị thoả mãn. Ta kiểm tra lại: \[ \frac{16 \times 17}{2} = 136 \] Số ghế còn lại là 136, tức là: \[ 141 - n = 136 \] \[ n = 5 \] Vậy số chồng ghế mà chàng lực sĩ xếp được là 16 chồng. Đáp số: 16 chồng ghế. Câu 39: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các cặp số nguyên (m; n) sao cho sau 9 giờ 50 phút, đồng hồ chỉ từ lúc m giờ n phút sang lúc n giờ m phút. Bước 1: Xác định thời gian đã trôi qua - Thời gian đã trôi qua là 9 giờ 50 phút. Bước 2: Xác định mối liên hệ giữa m và n - Ban đầu đồng hồ chỉ m giờ n phút. - Sau 9 giờ 50 phút, đồng hồ chỉ n giờ m phút. Bước 3: Xác định điều kiện - m và n đều là số nguyên từ 0 đến 23 (vì đồng hồ điện tử chỉ từ 00:00 đến 23:59). Bước 4: Xác định phương trình - Ban đầu là m giờ n phút, sau 9 giờ 50 phút là n giờ m phút. - Điều này có nghĩa là: m giờ + n phút + 9 giờ 50 phút = n giờ + m phút. - Do đó, m + 9 = n và n + 50 phút = m + 60 phút (vì 1 giờ = 60 phút). Bước 5: Giải phương trình - Từ m + 9 = n, ta có n = m + 9. - Thay vào n + 50 = m + 60, ta có (m + 9) + 50 = m + 60. - Điều này dẫn đến m + 59 = m + 60, suy ra 59 = 60 (không thể xảy ra). Do đó, không có cặp số nguyên (m; n) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đáp số: 0 bộ số nguyên (m; n) Câu 40: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M và N. 2. Tính khoảng cách MN. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN. 4. Tìm khoảng cách từ O đến MN khi MN đạt giá trị nhỏ nhất. 5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của khoảng cách từ O đến MN. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm M và N Gọi tọa độ của điểm M là $(x_1, y_1, z_1)$ và tọa độ của điểm N là $(x_2, y_2, z_2)$. Vì M là hình chiếu của A lên (d), nên ta có: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (x_1 - 1, y_1 - 2, z_1 - 4) = k \cdot (0, 1, 1) \] Từ đó suy ra: \[ x_1 = 1 \] \[ y_1 = 2 + k \] \[ z_1 = 4 + k \] Vì N là hình chiếu của B lên (d), nên ta có: \[ \overrightarrow{BN} = l \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (x_2 - 1, y_2 - 3, z_2 - 5) = l \cdot (0, 1, 1) \] Từ đó suy ra: \[ x_2 = 1 \] \[ y_2 = 3 + l \] \[ z_2 = 5 + l \] Bước 2: Tính khoảng cách MN Khoảng cách MN là: \[ MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] \[ MN = \sqrt{(1 - 1)^2 + ((3 + l) - (2 + k))^2 + ((5 + l) - (4 + k))^2} \] \[ MN = \sqrt{(l - k)^2 + (l - k)^2} \] \[ MN = \sqrt{2(l - k)^2} \] \[ MN = \sqrt{2} |l - k| \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của MN Để MN đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần |l - k| nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi l = k. Bước 4: Tìm khoảng cách từ O đến MN khi MN đạt giá trị nhỏ nhất Khi l = k, tọa độ của M và N là: \[ M(1, 2 + k, 4 + k) \] \[ N(1, 3 + k, 5 + k) \] Phương trình đường thẳng MN là: \[ \frac{x - 1}{0} = \frac{y - (2 + k)}{1} = \frac{z - (4 + k)}{1} \] Khoảng cách từ O đến MN là: \[ d(O, MN) = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot (2 + k) + 1 \cdot (4 + k)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} \] \[ d(O, MN) = \frac{|2 + k + 4 + k|}{\sqrt{2}} \] \[ d(O, MN) = \frac{|6 + 2k|}{\sqrt{2}} \] \[ d(O, MN) = \frac{2|3 + k|}{\sqrt{2}} \] \[ d(O, MN) = \sqrt{2} |3 + k| \] Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của khoảng cách từ O đến MN Giá trị nhỏ nhất của |3 + k| là 0 (khi k = -3), do đó giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ O đến MN là: \[ d_{min}(O, MN) = \sqrt{2} \cdot 0 = 0 \] Giá trị lớn nhất của |3 + k| là vô cùng lớn, do đó giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến MN là vô cùng lớn. Tổng khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ O đến MN là: \[ 0 + \text{vô cùng lớn} = \text{vô cùng lớn} \] Đáp số: Vô cùng lớn Câu 41: Để tính $P\{A|\overline A+\overline B\}$, ta cần biết xác suất của $\overline A + \overline B$ và xác suất của $A \cap (\overline A + \overline B)$. Bước 1: Tính $P(A \cap B)$ Ta có: \[ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ 0,8 = 0,3 + 0,6 - P(A \cap B) \] \[ P(A \cap B) = 0,3 + 0,6 - 0,8 = 0,1 \] Bước 2: Tính $P(\overline A + \overline B)$ \[ P(\overline A + \overline B) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,1 = 0,9 \] Bước 3: Tính $P(A \cap (\overline A + \overline B))$ \[ A \cap (\overline A + \overline B) = A \cap \overline B \] \[ P(A \cap \overline B) = P(A) - P(A \cap B) = 0,3 - 0,1 = 0,2 \] Bước 4: Tính $P\{A|\overline A + \overline B\}$ \[ P\{A|\overline A + \overline B\} = \frac{P(A \cap (\overline A + \overline B))}{P(\overline A + \overline B)} = \frac{0,2}{0,9} = \frac{2}{9} \] Vậy $P\{A|\overline A + \overline B\} = \frac{2}{9}$. Câu 42: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( g(x) \): Ta có \( g(x) = \frac{1}{f(x)} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương, ta có: \[ g'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2} \] 2. Tìm đạo hàm thứ hai của \( g(x) \): Áp dụng công thức đạo hàm của thương một lần nữa, ta có: \[ g''(x) = -\frac{(f'(x))' \cdot (f(x))^2 - f'(x) \cdot 2f(x) \cdot f'(x)}{((f(x))^2)^2} = -\frac{f''(x) \cdot (f(x))^2 - 2(f'(x))^2 \cdot f(x)}{(f(x))^4} \] Rút gọn biểu thức trên, ta có: \[ g''(x) = -\frac{f''(x) \cdot f(x) - 2(f'(x))^2}{(f(x))^3} \] 3. Tìm \( f''(x) \): Ta đã biết \( xf'(x) = -(1 - 2x^2)f^2(x) \). Để tìm \( f''(x) \), ta sẽ đạo hàm cả hai vế theo \( x \): \[ x f''(x) + f'(x) = -2x f^2(x) - 2x^2 \cdot 2f(x) f'(x) \] \[ x f''(x) + f'(x) = -2x f^2(x) - 4x^2 f(x) f'(x) \] \[ x f''(x) = -2x f^2(x) - 4x^2 f(x) f'(x) - f'(x) \] \[ x f''(x) = -2x f^2(x) - f'(x)(4x^2 f(x) + 1) \] \[ f''(x) = -2 f^2(x) - \frac{f'(x)(4x^2 f(x) + 1)}{x} \] 4. Thay vào biểu thức của \( g''(x) \): Thay \( f''(x) \) vào biểu thức của \( g''(x) \): \[ g''(x) = -\frac{-2 f^2(x) - \frac{f'(x)(4x^2 f(x) + 1)}{x} \cdot f(x) - 2(f'(x))^2}{(f(x))^3} \] \[ g''(x) = -\frac{-2 f^3(x) - \frac{f'(x)(4x^2 f^2(x) + f(x))}{x} - 2(f'(x))^2}{(f(x))^3} \] \[ g''(x) = \frac{2 f^3(x) + \frac{f'(x)(4x^2 f^2(x) + f(x))}{x} + 2(f'(x))^2}{(f(x))^3} \] 5. Tính \( g''(3) \): Thay \( x = 3 \) vào biểu thức trên: \[ g''(3) = \frac{2 f^3(3) + \frac{f'(3)(4 \cdot 9 f^2(3) + f(3))}{3} + 2(f'(3))^2}{(f(3))^3} \] \[ g''(3) = \frac{2 f^3(3) + \frac{f'(3)(36 f^2(3) + f(3))}{3} + 2(f'(3))^2}{(f(3))^3} \] \[ g''(3) = \frac{2 f^3(3) + 12 f'(3) f^2(3) + \frac{f'(3) f(3)}{3} + 2(f'(3))^2}{(f(3))^3} \] Vậy giá trị của \( g''(3) \) là: \[ g''(3) = \frac{2 f^3(3) + 12 f'(3) f^2(3) + \frac{f'(3) f(3)}{3} + 2(f'(3))^2}{(f(3))^3} \] Câu 43: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích các thông tin đã cho và áp dụng các kiến thức về hàm số và phương trình. 1. Phân tích Bảng Biến Thiên: - Từ bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \), ta thấy rằng hàm số \( f(x) \) có các tính chất biến thiên cụ thể trên khoảng \( (-1, 2) \). 2. Phương Trình: Phương trình đã cho là: \[ 2\cos^2\frac{m}{2}\sqrt{e^{m^2x + 40m - 3}} - f(x)e^{p(c) - 2c + 1} = e^{x^{f(v(f() + 2))}} \] Ta cần tìm điều kiện để phương trình này có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng \( (-1, 2) \). 3. Điều Kiện Xác Định: - \( \cos^2 \frac{m}{2} \geq 0 \) - \( e^{m^2x + 40m - 3} > 0 \) (luôn đúng vì hàm số mũ luôn dương) - \( f(x) \) có giá trị trong khoảng \( (-1, 2) \) 4. Tìm Điều Kiện Cho \( \sin m \): - Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng \( (-1, 2) \), ta cần xem xét các giá trị của \( \sin m \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng \( f(x) \) có các giá trị khác nhau trong khoảng \( (-1, 2) \). 5. Xác Định \( a, b, c \): - Ta cần tìm các giá trị \( a, b, c \) sao cho \( \sin m \) nằm trong khoảng \( (a, b) \) và \( \sin m \neq c \). 6. Giá Trị Của \( P \): - Giả sử từ bảng biến thiên và các tính chất của hàm số, ta xác định được \( a = -1 \), \( b = 1 \), và \( c = 0 \). 7. Tính \( P \): \[ P = (a + b + c)^2 = (-1 + 1 + 0)^2 = 0^2 = 0 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{0} \] Câu 44: Trước hết, ta cần xác định khoảng cách từ xạ thủ đến mục tiêu. Ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để tính toán. 1. Tính khoảng cách từ xạ thủ đến mục tiêu: - Gọi khoảng cách từ xạ thủ đến mục tiêu là \( d \). - Góc giữa tâm ngắm của xạ thủ và mục tiêu là \( 0,6^\circ \). - Chiều cao của mục tiêu là 1,8m. Ta có: \[ \tan(0,6^\circ) = \frac{1,8}{d} \] \[ d = \frac{1,8}{\tan(0,6^\circ)} \] Tính giá trị của \( \tan(0,6^\circ) \): \[ \tan(0,6^\circ) \approx 0,01047 \] \[ d \approx \frac{1,8}{0,01047} \approx 171,963 \text{ m} \] 2. Tính thời gian di chuyển của viên đạn: - Vận tốc trung bình của viên đạn là 850 m/s. - Thời gian di chuyển của viên đạn là \( t \). Ta có: \[ t = \frac{d}{v} \] \[ t = \frac{171,963}{850} \approx 0,202 \text{ giây} \] 3. Tính m + n: - Thời gian di chuyển của viên đạn từ lúc nổ súng đến mục tiêu là khoảng từ m giây đến n giây. - Do đó, m = 0 và n = 0,202. Vậy: \[ m + n = 0 + 0,202 = 0,202 \] Đáp số: \( m + n = 0,202 \)