"Cảnh bình minh trên đỉnh núi được tái hiện qua các khung hình tuyệt đẹp, với ảnh 1 nắng dịu dàng chiếu sáng từng lớp s sương mù, tạo nên bức tranh thiên nhiên hùng vĩ và thơ mộng

Câu 45: Gọi vận tốc của M là v thì vận tốc của N là 2v. Gọi thời gian chuyển động của M và N là t. Khi đó quãng đường M đi được là vt, quãng đường N đi được là 2vt. Ta có: $\angle MAN = 90^\circ$, nên $\angle AMN + \angle ANM = 90^\circ$. Mà $\angle AMP = \angle ANQ = 90^\circ$, nên $\angle AMP = \angle ANM$. Do đó $\triangle AMP$ đồng dạng với $\triangle ANQ$ (g-g). Từ đó ta có: $\frac{AM}{AN} = \frac{MP}{NQ}$. Mà $AM = AN = 4$, nên $MP = NQ$. Diện tích hình vuông có cạnh MP là $MP^2$, diện tích hình vuông có cạnh NQ là $NQ^2$. Tổng diện tích của hai hình vuông là $MP^2 + NQ^2 = 2MP^2$. Ta có: $OP = OA - AP = 4 - AP$. Mà $AP^2 + MP^2 = AM^2 = 16$, nên $MP^2 = 16 - AP^2$. Thay vào biểu thức tổng diện tích của hai hình vuông, ta được: $2MP^2 = 2(16 - AP^2) = 32 - 2AP^2$. Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi $AP^2$ đạt giá trị lớn nhất. Ta có: $AP^2 = 16 - MP^2$, nên $AP^2$ đạt giá trị lớn nhất khi $MP^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Mà $MP^2$ luôn luôn dương, nên $MP^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MP = 0$. Khi đó $AP^2 = 16$, suy ra $AP = 4$. Vậy tổng diện tích của hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất là $32 - 2 \times 16 = 0$. Câu 46: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết xác suất của từng sự kiện xảy ra và sau đó nhân chúng lại với nhau để tìm xác suất của tất cả các sự kiện đồng thời xảy ra. Giả sử xác suất không mưa là \( P(\text{Không mưa}) \), xác suất có kẹt xe là \( P(\text{Có kẹt xe}) \), và xác suất Đức không đi làm muộn là \( P(\text{Không đi làm muộn}) \). Xác suất mà ngày đó không mưa, có kẹt xe và Đức không đi làm muộn là: \[ P(\text{Không mưa} \cap \text{Có kẹt xe} \cap \text{Không đi làm muộn}) = P(\text{Không mưa}) \times P(\text{Có kẹt xe}) \times P(\text{Không đi làm muộn}) \] Ví dụ, nếu xác suất không mưa là 0.7, xác suất có kẹt xe là 0.3, và xác suất Đức không đi làm muộn là 0.9, thì: \[ P(\text{Không mưa} \cap \text{Có kẹt xe} \cap \text{Không đi làm muộn}) = 0.7 \times 0.3 \times 0.9 = 0.189 \] Đổi thành phần trăm: \[ 0.189 \times 100 = 18.9\% \] Vậy, xác suất mà ngày đó không mưa, có kẹt xe và Đức không đi làm muộn là 18.9%. Đáp số: 18.9%. Câu 47: Để xác định xác suất mà Đức đi làm muộn, chúng ta cần biết tổng số lần Đức đi làm và số lần Đức đi làm muộn. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thông tin này. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng chúng ta có dữ liệu về số lần Đức đi làm và số lần Đức đi làm muộn. Giả sử Đức đi làm tổng cộng 100 lần và trong đó có 10 lần Đức đi làm muộn. Bước 1: Xác định tổng số lần Đức đi làm. Tổng số lần Đức đi làm là 100 lần. Bước 2: Xác định số lần Đức đi làm muộn. Số lần Đức đi làm muộn là 10 lần. Bước 3: Tính xác suất Đức đi làm muộn. Xác suất Đức đi làm muộn được tính bằng cách chia số lần Đức đi làm muộn cho tổng số lần Đức đi làm, sau đó nhân với 100 để chuyển thành phần trăm. \[ P(\text{Đức đi làm muộn}) = \left( \frac{\text{số lần Đức đi làm muộn}}{\text{tổng số lần Đức đi làm}} \right) \times 100 \] \[ P(\text{Đức đi làm muộn}) = \left( \frac{10}{100} \right) \times 100 = 10\% \] Vậy xác suất mà Đức đi làm muộn là 10%. Đáp số: 10% Câu 48: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về xác suất trời mưa và xác suất Đức đi làm muộn trong các trường hợp trời mưa và trời nắng. Tuy nhiên, giả sử chúng ta có các thông tin sau (vì đề bài không cung cấp cụ thể): - Xác suất trời mưa là \( P(M) = 0.3 \) - Xác suất trời nắng là \( P(N) = 0.7 \) - Xác suất Đức đi làm muộn khi trời mưa là \( P(D|M) = 0.6 \) - Xác suất Đức đi làm muộn khi trời nắng là \( P(D|N) = 0.1 \) Bây giờ, chúng ta sẽ tính xác suất tổng thể Đức đi làm muộn \( P(D) \) bằng cách sử dụng công thức xác suất toàn bộ: \[ P(D) = P(D|M) \cdot P(M) + P(D|N) \cdot P(N) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ P(D) = 0.6 \cdot 0.3 + 0.1 \cdot 0.7 \] \[ P(D) = 0.18 + 0.07 \] \[ P(D) = 0.25 \] Tiếp theo, chúng ta cần tính xác suất trời mưa khi Đức đi làm muộn \( P(M|D) \) bằng cách sử dụng công thức Bayes: \[ P(M|D) = \frac{P(D|M) \cdot P(M)}{P(D)} \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ P(M|D) = \frac{0.6 \cdot 0.3}{0.25} \] \[ P(M|D) = \frac{0.18}{0.25} \] \[ P(M|D) = 0.72 \] Cuối cùng, chúng ta chuyển đổi xác suất này thành phần trăm và làm tròn đến phần chục: \[ P(M|D) = 0.72 \times 100\% = 72\% \] Vậy xác suất mà ngày đó trời mưa khi Đức đi làm muộn là 72%. Đáp số: 72% Câu 49: Chi phí nhiên liệu của tàu chạy trên sông được chia thành hai phần: - Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 520 nghìn đồng trên 1 giờ. - Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc. Khi \( v = 15 \text{ km/h} \), phần thứ hai bằng 35 nghìn đồng/giờ. Ta cần xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là nhỏ nhất. Bước 1: Xác định biểu thức chi phí nhiên liệu Gọi vận tốc của tàu là \( v \text{ km/h} \). Phần thứ hai của chi phí nhiên liệu tỉ lệ thuận với \( v^3 \). Ta có: \[ f(v) = k \cdot v^3 \] Trong đó \( k \) là hằng số tỉ lệ. Biết rằng khi \( v = 15 \text{ km/h} \), chi phí phần thứ hai là 35 nghìn đồng/giờ, ta có: \[ 35 = k \cdot 15^3 \] \[ 35 = k \cdot 3375 \] \[ k = \frac{35}{3375} = \frac{7}{675} \] Vậy biểu thức chi phí nhiên liệu phần thứ hai là: \[ f(v) = \frac{7}{675} \cdot v^3 \] Bước 2: Xác định tổng chi phí nhiên liệu trên 1 giờ Tổng chi phí nhiên liệu trên 1 giờ là: \[ C(v) = 520 + \frac{7}{675} \cdot v^3 \] Bước 3: Xác định tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km Thời gian để tàu chạy 1 km là \( \frac{1}{v} \) giờ. Vậy tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km là: \[ C_{\text{tổng}}(v) = C(v) \cdot \frac{1}{v} = \left( 520 + \frac{7}{675} \cdot v^3 \right) \cdot \frac{1}{v} \] \[ C_{\text{tổng}}(v) = \frac{520}{v} + \frac{7}{675} \cdot v^2 \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( C_{\text{tổng}}(v) \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C_{\text{tổng}}(v) \), ta tính đạo hàm và tìm điểm cực tiểu: \[ C'_{\text{tổng}}(v) = -\frac{520}{v^2} + \frac{14}{675} \cdot v \] Đặt \( C'_{\text{tổng}}(v) = 0 \): \[ -\frac{520}{v^2} + \frac{14}{675} \cdot v = 0 \] \[ \frac{14}{675} \cdot v = \frac{520}{v^2} \] \[ 14 \cdot v^3 = 520 \cdot 675 \] \[ v^3 = \frac{520 \cdot 675}{14} \] \[ v^3 = 25500 \] \[ v = \sqrt[3]{25500} \approx 29.44 \text{ km/h} \] Vậy vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là nhỏ nhất là khoảng 29.44 km/h. Câu 50: Để hàm số $y = |\sin x - \frac{x}{2} - m|$ có đúng 5 điểm cực trị trong khoảng $(-\pi, \pi)$, ta cần xem xét hàm số $f(x) = \sin x - \frac{x}{2} - m$. Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \cos x - \frac{1}{2} \] Điều kiện để $f(x)$ có 5 điểm cực trị trong khoảng $(-\pi, \pi)$ là $f'(x) = 0$ phải có 4 nghiệm trong khoảng này. Ta giải phương trình: \[ \cos x - \frac{1}{2} = 0 \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \] Phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ có các nghiệm: \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Trong khoảng $(-\pi, \pi)$, các nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \] Để hàm số $y = |\sin x - \frac{x}{2} - m|$ có đúng 5 điểm cực trị, thì $f(x)$ phải cắt trục hoành tại 3 điểm trong khoảng $(-\pi, \pi)$. Do đó, ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho $f(x)$ có 3 nghiệm trong khoảng này. Ta vẽ đồ thị của hàm số $g(x) = \sin x - \frac{x}{2}$ trong khoảng $(-\pi, \pi)$: - Khi $x = -\pi$, $g(-\pi) = \sin(-\pi) - \frac{-\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ - Khi $x = 0$, $g(0) = \sin(0) - \frac{0}{2} = 0$ - Khi $x = \pi$, $g(\pi) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$ Đồ thị của $g(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm trong khoảng $(-\pi, \pi)$. Để $f(x) = g(x) - m$ có 3 nghiệm, thì $m$ phải nằm trong khoảng giữa các giá trị cực đại và cực tiểu của $g(x)$. Từ đồ thị, ta thấy: - Giá trị cực đại của $g(x)$ là $\frac{\pi}{2}$ - Giá trị cực tiểu của $g(x)$ là $-\frac{\pi}{2}$ Do đó, $m$ phải nằm trong khoảng: \[ -\frac{\pi}{2} < m < \frac{\pi}{2} \] Vậy tập hợp các số thực $m$ để hàm số $y = |\sin x - \frac{x}{2} - m|$ có đúng 5 điểm cực trị trong khoảng $(-\pi, \pi)$ là: \[ m \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \] Giá trị của $|a - b|$ là: \[ |a - b| = \left| -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \right| = \pi \approx 3.14 \] Đáp số: $|a - b| = 3.14$