CM: $a{}^{2}$ + $c{}^{2}$/$b{}^{2}$ + $d{}^{2}$ = $(a+c){}^{2}$/$(b+d){}^{2}$ Biết a/b =c/d

Biết rằng $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, ta sẽ chứng minh rằng $\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{(a + c)^2}{(b + d)^2}$. Bước 1: Ta biết rằng $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, do đó ta có thể viết lại dưới dạng: \[ a = k \cdot b \quad \text{và} \quad c = k \cdot d \] với $k$ là một hằng số. Bước 2: Thay $a$ và $c$ vào biểu thức $\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2}$: \[ \frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{(k \cdot b)^2 + (k \cdot d)^2}{b^2 + d^2} = \frac{k^2 \cdot b^2 + k^2 \cdot d^2}{b^2 + d^2} = \frac{k^2 (b^2 + d^2)}{b^2 + d^2} = k^2 \] Bước 3: Thay $a$ và $c$ vào biểu thức $\frac{(a + c)^2}{(b + d)^2}$: \[ \frac{(a + c)^2}{(b + d)^2} = \frac{(k \cdot b + k \cdot d)^2}{(b + d)^2} = \frac{k^2 (b + d)^2}{(b + d)^2} = k^2 \] Bước 4: So sánh kết quả của hai biểu thức: \[ \frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = k^2 \quad \text{và} \quad \frac{(a + c)^2}{(b + d)^2} = k^2 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{(a + c)^2}{(b + d)^2} \] Đáp số: Đã chứng minh.