"Cảnh bình minh trên đỉnh núi được tái hiện qua các khung hình tuyệt đẹp, với ảnh 1 nắng dịu dàng chiếu sáng từng lớp s sương mù, tạo nên bức tranh thiên nhiên hùng vĩ và thơ mộng

Câu 49: Chi phí nhiên liệu của tàu chạy trên sông được chia thành hai phần: - Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 520 nghìn đồng trên 1 giờ. - Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc. Khi \( v = 15 \text{ km/h} \), phần thứ hai bằng 35 nghìn đồng/giờ. Ta cần xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là nhỏ nhất. Bước 1: Xác định biểu thức chi phí nhiên liệu Gọi vận tốc của tàu là \( v \text{ km/h} \). Phần thứ hai của chi phí nhiên liệu tỉ lệ thuận với \( v^3 \). Ta có: \[ f(v) = k \cdot v^3 \] Trong đó \( k \) là hằng số tỉ lệ. Biết rằng khi \( v = 15 \text{ km/h} \), chi phí nhiên liệu phần thứ hai là 35 nghìn đồng/giờ, ta có: \[ 35 = k \cdot 15^3 \] \[ 35 = k \cdot 3375 \] \[ k = \frac{35}{3375} = \frac{7}{675} \] Vậy biểu thức chi phí nhiên liệu phần thứ hai là: \[ f(v) = \frac{7}{675} \cdot v^3 \] Bước 2: Xác định tổng chi phí nhiên liệu trên 1 giờ Tổng chi phí nhiên liệu trên 1 giờ là: \[ C(v) = 520 + \frac{7}{675} \cdot v^3 \] Bước 3: Xác định tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km Thời gian để tàu chạy 1 km là \( \frac{1}{v} \) giờ. Vậy tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km là: \[ C_{\text{km}}(v) = C(v) \cdot \frac{1}{v} = \left( 520 + \frac{7}{675} \cdot v^3 \right) \cdot \frac{1}{v} \] \[ C_{\text{km}}(v) = \frac{520}{v} + \frac{7}{675} \cdot v^2 \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( C_{\text{km}}(v) \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C_{\text{km}}(v) \), ta tính đạo hàm của \( C_{\text{km}}(v) \) và tìm điểm cực tiểu. \[ C'_{\text{km}}(v) = -\frac{520}{v^2} + \frac{14}{675} \cdot v \] Đặt \( C'_{\text{km}}(v) = 0 \): \[ -\frac{520}{v^2} + \frac{14}{675} \cdot v = 0 \] \[ \frac{14}{675} \cdot v = \frac{520}{v^2} \] \[ 14 \cdot v^3 = 520 \cdot 675 \] \[ v^3 = \frac{520 \cdot 675}{14} \] \[ v^3 = 25350 \] \[ v = \sqrt[3]{25350} \approx 29.37 \text{ km/h} \] Vậy vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là nhỏ nhất là khoảng 29.37 km/h. Câu 50: Để hàm số $y = |\sin x - \frac{x}{2} - m|$ có đúng 5 điểm cực trị trong khoảng $(-\pi, \pi)$, ta cần xem xét hàm số $f(x) = \sin x - \frac{x}{2} - m$. Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \cos x - \frac{1}{2} \] Điều kiện để $f(x)$ có 5 điểm cực trị trong khoảng $(-\pi, \pi)$ là $f'(x) = 0$ phải có 4 nghiệm trong khoảng này. Ta giải phương trình: \[ \cos x - \frac{1}{2} = 0 \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \] Phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ có các nghiệm: \[ x = \pm \frac{\pi}{3}, \pm \frac{5\pi}{3} \] Tuy nhiên, chỉ có các nghiệm trong khoảng $(-\pi, \pi)$ là: \[ x = \pm \frac{\pi}{3} \] Để hàm số $y = |\sin x - \frac{x}{2} - m|$ có đúng 5 điểm cực trị, thì $f(x)$ phải cắt trục hoành tại 3 điểm trong khoảng $(-\pi, \pi)$. Điều này xảy ra khi $f(x)$ có 3 nghiệm trong khoảng này. Ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho $f(x) = 0$ có 3 nghiệm trong khoảng $(-\pi, \pi)$. Ta vẽ đồ thị của $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$: - Khi $x = -\pi$, $f(-\pi) = \sin(-\pi) - \frac{-\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ - Khi $x = 0$, $f(0) = \sin(0) - \frac{0}{2} = 0$ - Khi $x = \pi$, $f(\pi) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$ Đồ thị của $f(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm khi $m$ nằm trong khoảng giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trong khoảng $(-\pi, \pi)$. Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trong khoảng $(-\pi, \pi)$ là $\frac{\pi}{2}$ và giá trị nhỏ nhất là $-\frac{\pi}{2}$. Do đó, $m$ phải nằm trong khoảng: \[ -\frac{\pi}{2} < m < \frac{\pi}{2} \] Vậy miền $(a; b)$ là: \[ a = -\frac{\pi}{2}, \quad b = \frac{\pi}{2} \] Tính giá trị của $|a - b|$: \[ |a - b| = \left| -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \right| = \left| -\pi \right| = \pi \] Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ \pi \approx 3.14 \] Đáp số: \[ |a - b| = 3.14 \]