Tìm số nguyên tố $p$ và $q$ sao cho $5^{2p}+2013=(5^{2p})^2+q^2$.

Để tìm số nguyên tố $p$ và $q$ sao cho $5^{2p} + 2013 = (5^{2p})^2 + q^2$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định $5^{2p}$ là số nào. - Ta thấy rằng $5^{2p}$ là lũy thừa của 5 với số mũ là số chẵn (vì $2p$ là số chẵn). Bước 2: Thử các giá trị của $p$ để tìm $5^{2p}$. - Nếu $p = 1$, thì $5^{2p} = 5^2 = 25$. - Nếu $p = 2$, thì $5^{2p} = 5^4 = 625$. - Nếu $p = 3$, thì $5^{2p} = 5^6 = 15625$ (số này quá lớn, không phù hợp). Bước 3: Thử giá trị $p = 1$. - Khi $p = 1$, ta có $5^{2p} = 25$. - Thay vào phương trình: $25 + 2013 = (25)^2 + q^2$. - Tính: $2038 = 625 + q^2$. - Suy ra: $q^2 = 2038 - 625 = 1413$. - Ta thấy rằng $1413$ không phải là số chính phương, do đó $p = 1$ không thỏa mãn. Bước 4: Thử giá trị $p = 2$. - Khi $p = 2$, ta có $5^{2p} = 625$. - Thay vào phương trình: $625 + 2013 = (625)^2 + q^2$. - Tính: $2638 = 390625 + q^2$. - Suy ra: $q^2 = 2638 - 390625 = -387987$. - Ta thấy rằng $-387987$ không phải là số chính phương, do đó $p = 2$ không thỏa mãn. Bước 5: Kiểm tra lại các giá trị khác. - Ta thấy rằng các giá trị $p$ lớn hơn 2 sẽ dẫn đến $5^{2p}$ quá lớn, không phù hợp với bài toán. Do đó, không có giá trị nào của $p$ và $q$ thỏa mãn phương trình $5^{2p} + 2013 = (5^{2p})^2 + q^2$.