Chọn đáp án đúng và sử dụng công thức nào

Câu 1. Trước tiên, ta xét từng khẳng định một: A. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ - Trong tam giác đều ABC, các cạnh AB, BC và CA đều bằng nhau và các góc đều bằng 60°. - Tuy nhiên, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng độ dài nhưng hướng khác nhau (vì chúng nằm trên hai cạnh khác nhau của tam giác). - Do đó, $\overrightarrow{AB}$ không bằng $\overrightarrow{BC}$. B. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương - Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương vì chúng không nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song với nhau. C. $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau - $\overrightarrow{BA}$ là vectơ ngược chiều với $\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{BC}$ là vectơ từ B đến C. - Vì vậy, $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau. D. $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC}$ - $\overrightarrow{BA}$ là vectơ ngược chiều với $\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. - Trong tam giác đều, $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{AC}$ có cùng độ dài nhưng hướng khác nhau. - Do đó, $\overrightarrow{BA}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định sai là: A. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ Câu 2. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình vuông ABEF, các cạnh đều bằng nhau và các góc đều là 90 độ. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BF}$ - Vector $\overrightarrow{AE}$ đi từ điểm A đến điểm E. - Vector $\overrightarrow{BF}$ đi từ điểm B đến điểm F. - Vì ABEF là hình vuông, nên AE và BF là hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, nhưng chúng không cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{AE} \neq \overrightarrow{BF}$. B. $|\overrightarrow{FA}| = |\overrightarrow{BE}|$ - Vector $\overrightarrow{FA}$ đi từ điểm F đến điểm A. - Vector $\overrightarrow{BE}$ đi từ điểm B đến điểm E. - Vì ABEF là hình vuông, nên FA và BE là hai đoạn thẳng bằng nhau. Do đó, $|\overrightarrow{FA}| = |\overrightarrow{BE}|$. C. $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BE}$ - Vector $\overrightarrow{AF}$ đi từ điểm A đến điểm F. - Vector $\overrightarrow{BE}$ đi từ điểm B đến điểm E. - Vì ABEF là hình vuông, nên AF và BE là hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, nhưng chúng không cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{AF} \neq \overrightarrow{BE}$. D. $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{EF}$ - Vector $\overrightarrow{BA}$ đi từ điểm B đến điểm A. - Vector $\overrightarrow{EF}$ đi từ điểm E đến điểm F. - Vì ABEF là hình vuông, nên BA và EF là hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, nhưng chúng không cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{EF}$. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có khẳng định B là đúng. Đáp án: B. $|\overrightarrow{FA}| = |\overrightarrow{BE}|$. Câu 3. Trước tiên, ta sẽ xem xét từng khẳng định một: A. $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ là cùng hướng. - Trong hình vuông ABCD, đoạn thẳng AD song song với đoạn thẳng BC. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cũng sẽ cùng hướng. B. $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}$ là khác phương. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ đi từ A đến C, còn vectơ $\overrightarrow{CA}$ đi từ C đến A. Như vậy, hai vectơ này ngược hướng nhau, nhưng chúng vẫn cùng phương vì nằm trên cùng một đường thẳng. C. $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CD}$ là cùng phương. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ đi từ A đến C, trong khi vectơ $\overrightarrow{CD}$ đi từ C đến D. Hai vectơ này không nằm trên cùng một đường thẳng, do đó chúng không cùng phương. D. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là ngược hướng. - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ đi từ A đến B, còn vectơ $\overrightarrow{AC}$ đi từ A đến C. Hai vectơ này không ngược hướng vì chúng không nằm trên cùng một đường thẳng. Từ những phân tích trên, ta thấy rằng khẳng định đúng là: A. $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ là cùng hướng. Đáp án: A. $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ là cùng hướng. Câu 4. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{QN}$ trong hình chữ nhật MNPQ, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật: - Gọi M(0, 0) - N(4a, 0) - Q(0, 6a) - P(4a, 6a) 2. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{QN}$: - Tọa độ của Q là (0, 6a) - Tọa độ của N là (4a, 0) - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{QN}$ là (4a - 0, 0 - 6a) = (4a, -6a) 3. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{QN}$: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{QN}$ là $\sqrt{(4a)^2 + (-6a)^2}$ - $\sqrt{(4a)^2 + (-6a)^2} = \sqrt{16a^2 + 36a^2} = \sqrt{52a^2} = \sqrt{4 \times 13a^2} = 2\sqrt{13}a$ Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{QN}$ là $2\sqrt{13}a$. Đáp án đúng là: D. $2\sqrt{13}a$. Câu 5. Trong hình bình hành EFGH, ta có thể sử dụng tính chất của vectơ để tính tổng $\overrightarrow{HE} + \overrightarrow{HG}$. Theo quy tắc hình bình hành của vectơ, tổng của hai vectơ $\overrightarrow{HE}$ và $\overrightarrow{HG}$ sẽ là vectơ từ đỉnh H đến đỉnh F của hình bình hành, tức là $\overrightarrow{HF}$. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{HE} + \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{HF} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{HF}$. Câu 6. Để tìm khẳng định đúng, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một bằng cách sử dụng quy tắc cộng và trừ vectơ. A. $\overrightarrow{MQ} - \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{QE}$ - Ta có $\overrightarrow{MQ} - \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{EQ}$ (theo quy tắc trừ vectơ). - Điều này không đúng vì $\overrightarrow{EQ}$ không bằng $\overrightarrow{QE}$. B. $\overrightarrow{ME} - \overrightarrow{QE} = \overrightarrow{QM}$ - Ta có $\overrightarrow{ME} - \overrightarrow{QE} = \overrightarrow{MQ}$ (theo quy tắc trừ vectơ). - Điều này đúng vì $\overrightarrow{MQ}$ chính là $\overrightarrow{QM}$ nhưng ngược chiều. C. $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{QE}$ - Ta có $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{ME}$ không thể bằng $\overrightarrow{QE}$ vì theo quy tắc cộng vectơ, $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{ME}$ sẽ tạo thành một vectơ khác. D. $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QE} = \overrightarrow{ME}$ - Ta có $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QE} = \overrightarrow{ME}$ (theo quy tắc cộng vectơ). - Điều này đúng vì khi ta cộng vectơ từ M đến Q và từ Q đến E, ta sẽ nhận được vectơ từ M đến E. Vậy khẳng định đúng là: D. $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QE} = \overrightarrow{ME}$. Câu 7. Để tính $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{DE}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta viết lại biểu thức: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{DE} \] Bước 2: Ta nhóm các vectơ theo quy tắc trừ vectơ: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{CB}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{CE} + (-\overrightarrow{DE}) = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{ED} \] Bước 3: Ta sử dụng tính chất cộng vectơ: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{CD} \] Bước 4: Kết hợp các kết quả trên: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \] Vậy, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AD}$ Do đó, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AD}$ Câu 8. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng trọng tâm của tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, với đoạn gần đỉnh gấp đôi đoạn gần cạnh đáy. Trong bài toán này, G là trọng tâm của tam giác OCD. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] Bây giờ, ta cần tìm \(\overrightarrow{k}\): \[ \overrightarrow{k} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \] Ta thấy rằng \(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\) là hai vectơ từ gốc O đến các đỉnh của tam giác OCD. Trọng tâm G của tam giác OCD sẽ là: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] Như vậy, ta có: \[ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 3 \overrightarrow{OG} \] Do đó: \[ \overrightarrow{k} = \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OG} \] Tuy nhiên, trong bài toán này, ta cần tìm khẳng định đúng về mối liên hệ giữa \(\overrightarrow{k}\) và \(\overrightarrow{OG}\). Ta thấy rằng \(\overrightarrow{OB}\) không liên quan trực tiếp đến trọng tâm G của tam giác OCD, nên ta chỉ cần tập trung vào phần \(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\). Vậy, ta có: \[ \overrightarrow{k} = 3 \overrightarrow{OG} \] Đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{k} = 3 \overrightarrow{OG}\) Đáp án: A. \(\overrightarrow{k} = 3 \overrightarrow{OG}\) Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng nếu $OI = 3OK$, thì đoạn thẳng IK sẽ được chia thành 4 phần bằng nhau, trong đó OI chiếm 3 phần và OK chiếm 1 phần. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $\overrightarrow{OI} = 3\overrightarrow{OK}$ - Điều này đúng vì OI = 3OK, nên vector $\overrightarrow{OI}$ sẽ bằng 3 lần vector $\overrightarrow{OK}$. B. $\overrightarrow{OI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{KI}$ - Điều này sai vì $\overrightarrow{KI}$ là toàn bộ đoạn thẳng từ K đến I, trong khi $\overrightarrow{OI}$ chỉ là 3 phần trong 4 phần của đoạn thẳng IK. Do đó, $\overrightarrow{OI}$ không thể bằng $\frac{3}{4}\overrightarrow{KI}$. C. $\overrightarrow{OK} = -3\overrightarrow{OI}$ - Điều này sai vì $\overrightarrow{OK}$ là 1 phần của đoạn thẳng IK, trong khi $\overrightarrow{OI}$ là 3 phần. Do đó, $\overrightarrow{OK}$ không thể bằng -3 lần $\overrightarrow{OI}$. D. $\overrightarrow{OI} = 4\overrightarrow{IO}$ - Điều này sai vì $\overrightarrow{IO}$ là đoạn thẳng từ I đến O, trong khi $\overrightarrow{OI}$ là đoạn thẳng từ O đến I. Do đó, $\overrightarrow{OI}$ không thể bằng 4 lần $\overrightarrow{IO}$. Vậy khẳng định đúng là: A. $\overrightarrow{OI} = 3\overrightarrow{OK}$ Đáp án: A. $\overrightarrow{OI} = 3\overrightarrow{OK}$ Câu 10. Ta có công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{n}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - \( |\overrightarrow{u}| = 10 \) - \( |\overrightarrow{n}| = 18 \) - \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 90\sqrt{3} \) Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ 90\sqrt{3} = 10 \cdot 18 \cdot \cos(\theta) \] \[ 90\sqrt{3} = 180 \cdot \cos(\theta) \] Chia cả hai vế cho 180: \[ \cos(\theta) = \frac{90\sqrt{3}}{180} \] \[ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Biết rằng \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), nên: \[ \theta = 30^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{n}\) là \(30^\circ\). Đáp án đúng là: A. \(30^\circ\). Câu 11. Để tính $|\overrightarrow u - \overrightarrow v|$, ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ hiệu: \[ |\overrightarrow u - \overrightarrow v| = \sqrt{|\overrightarrow u|^2 + |\overrightarrow v|^2 - 2 |\overrightarrow u| |\overrightarrow v| \cos(\theta)} \] Trong đó: - $|\overrightarrow u| = 1$ - $|\overrightarrow v| = 10$ - Góc giữa $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ là $180^\circ$, do đó $\cos(180^\circ) = -1$. Thay các giá trị này vào công thức: \[ |\overrightarrow u - \overrightarrow v| = \sqrt{1^2 + 10^2 - 2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot (-1)} \] \[ |\overrightarrow u - \overrightarrow v| = \sqrt{1 + 100 + 20} \] \[ |\overrightarrow u - \overrightarrow v| = \sqrt{121} \] \[ |\overrightarrow u - \overrightarrow v| = 11 \] Vậy đáp án đúng là C. 11. Đáp án: C. 11.